I. Les deux fonctions

3 I 1: F4 Oo == fe [72 «D Nue de se)

LE Poe ee et) ,

r x Le ll Lee x ne Xi (5) RD ur (ce Û 2

. où les sommations sont à étendre sur les 2"! expressions possibles des w, et où q désigne le nombre caractéristique de l’expression correspondante, sont des polynomes réguliers du degré n.

Il est évident que F,(zx) et Gr(x) forment des suites harmo-

niques ; de plus, l'identité évidente

I +0) 1 — ü) T [on me 5 —= (9 4e

montre, en vertu de (2), que les deux polynomes en question sont symétriques aussi; c’est-à-dire que F,(zx) et G;(æ) sont tous deux des polynomes réguliers.

Cela posé, 1l ne nous reste qu’à démontrer que G(æ) ést précisément du degré » par rapport à +, parce que F,(æ) a évidemment cette propriété.

A cet effet, posons

I ( q Petite A1 Lis Pançr)= LS (x: = ï \

nl ? r] 200 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D EULER. je dis que nous aurons

(6) N PT ATA) (o£m£K— 2),

(7) TE CO T LC OLIEE

En effet, il est évident que ces deux formules sont vraies pour K — 2, parce que nous aurons

Jeo(r) = 0, Pate) = (a+) fre) 2 a

Quant à la conclusion de à £ +1, nous ajoutons à l’ensemble (1) le nouveau nombre +}; supposons ensuite que l'expression w, formée de l’ensemble (1), ait le nombre caractéristique g, les expressions Way et w— 1x auront les nombres caractéristiques 4, | respectivement 4 +1. De plus, nous aurons évidemment

=: x ag LYX rente) = UE D. + fr,m (x = =) Ù

et la formule de Taylor donnera la formule récursive

ALL - af"!

fine) À Tr nrar fhnari(r),

ce qui nous conduira immédiatement au but.

Posons ensuite pour abréger

Sn —= > (12 TE He RE rie

et particulièrement So= 241,

nous aurons généralement, quel que soit l'indice n,

È TRS (8) to) Er WE: on n!

Quant aux sommes de puissances alternées

) (—1)2( AU Os se ak)",

Le SÉSCREE,

à Sm=>, EN E ET ce qui donnera, quel que soit l'indice n, A a I Th (c ( Ne en er 9) 70) QUHk A (n + Kk— 1)!

Soit particulièrement » — 0, il résult

So (A — 1)! 2#+#1

d’où, en vertu de (=),

(10) Gp —=(# —1)! 24-10 ..

Remarquons ensuite que G,(x) s’évanouira pour æ = —

résulte Go 91 (k—3)!o2# HE É ce qui donnera, en vertu de (10), (11) y KO Logo, ar.

Posons encore

É} =D (diem do, Rn

nous aurons de même

tas A}, —1 DA

Goo) = 100),

VV \ ps ne TE je +hk—1 = METTENT Roo= ET) EN EREEE pr

1 lon (nez D ee ne.

12) \ 2/ (77) , I Ton e (13) CAE (on rio rt

ï iculié ; 5 stante, d’où particulièrement, parce que GQ(æ) a une valeur constante,

à ri (14) To— 09 — (4 —1)loiTla x...

Xj:—1:.

elles s'évanouissent pour 0£m£k—», de sorte que nous posons

202 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D'EULER. Cela posé, nous aurons a T=n sp gr PCA 4 T. — ———— ———————— (9) Fr(z) > rio" (n—7r)!

r=0 SH Sr æli-) ( = Tee cer fe (16) Gn(r) Re CRE TR

ce qui donnera les développements d’après les fonctions de Ber-

noulli

< rm

(17) ; Fr(x) = Grritar eat

Gor+il / Sie, Hat => (ESS RARE Ba2r (a), A 7°—90

tandis que les développements, d’après les fonctions d'Euler, de-

viennent <n (19) F (æ)=Ÿ SA ET CR) 9 CEE RER ME ee Ne dv r=0 5 <7 = 2 : 4 Gr (20) Ce > Fes — niorers Pn-2r(æ).

. Nous ne nous arrêtons pas aux nombreuses formules récursives, obtenues pour les B,, T,, E,, en introduisant, dans les quatre développements, les valeurs spéciales ordinaires de +.