Problème XXXVIII. Développer la fonction

arc sin (cosu -t- sin (j).

Solution. La formule (D) du n“ 142 :

arcsinx=x-f-5-3-i-^^ÿ-f-^Y4-

devient d’abord

arc sin (cos lo-I- — 1 sin w) (3)

=2;é=isf:iÎ5=ïi[<»’ (2«-i)“+»'=î

Soit

arc sin (cos<i>-I-k^ — 1 sin«i))=A + Bl^ — 1, ou

cosu-l- 1/ — lsinti)=sin(A-t-Bt^^ — 1).

On conclut aisément de cette équation :

2cosw=(e®+e“®)sinA, 2sinoj=(e® — «~®)cosA ;

puis

cos’u

sin*o>

et enfin

sin* A

cos* A

cosA=l^ sinw.

sinA=r i— sino>,

132 TRAITÉ ÉI.ÉMENTAIRE DES SÉRIES.

Ces valeurs, substituées dans l’équation (3), la décomposent en ces deux-ci :

arc cos (1^ sin w)=coso) -Hj^cos 3u -I- j^cos 5 m-(- ,

1 -+-sint>)-|-l^ sin(ü]=sin û)-I-^sin 3“"l“^^sin d’où l’on en pourrait tirer beaucoup d’autres.