Diverses espèces de séries. Désignons par 8„ la tomme des

n premiers termes d’une série, savoir : *

Cette somme, aussi bien que u„, est une fonction de n. Cela posé, trois cas peuvent se présenter : .

1° Si la somme S„ des n premiers termes tend vers une limite finie et déterminée S, lorsque le nombre n croît indéiinimcnt, la série est , dite convergente;

2° Dans le cas contraire, c'est-à-dire quand la somme S„ peut

n Par exemple, le Tingl-neuvième terme de la ptogresaiou 3, 7. 11, 15,

peut être obtenu, soit dinctemenl, au niojcn de la Torinule «,=:3 + 4(n— 1), soit par des additions successiTcs.

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croUre (en valeur absolue) au delà de toute limite, on dit que la série est divergente ;

3* Enlin, s'il arrive que la somme S„, sans croître au delà de toute limite, n’oû pas de limite déterminée, la série n'est ni convergente ni divergente : ou peut lui donner le nom de série indéterminée [').

5. D’après ces délinilions. une progression par quotient, illirnilée et décroissante, est une série convergente; une progression par quotient, illimitée et croissante, est une série divergente; enlin la progression

dont le terme général est ( — 1)"“', constitue une série indéterminée; car S„ égale t ou O, suivant que n est impair ou pair.

4. Les séries convergentes sont les seules qu’il soit utile de considérer, parce que les autres séries ne peuvent représenter aucune quantité (*'). Il est donc nécessaire de savoir reconnaître si une série proposée est convergente ou non convergente. C’est à quoi l’on parviendra, presque toujours, en appliquant les régies démontrées dans le cliapitrc suivant.

(•) La pluiKirl ilesauU'urs fonl renirer telle iroisiéme c'pivc tic série dans la calégorie des téric$ divergentes. Celle classillcaiioii nous paraît cenliaire à réljmolusie > l à la siKniüoaliun habiliiulle du mol divergent. La dénomiuaiioii de setie indéterminée a été proposée par M. L. Olivier (douriial de Crelle, l. II).

(••) Il J a plus; les expressions : limite d'une série, somme d'une série, n’onl évidemmeiil aucun sens, lorstiue ta série ii'esl pas convergente. On peut donc s’éloiiner que de savaiils géomètres aient énoncé les propositions suivantes :

1+1— 1+ =rl (Lacroix, Cotrul inWflrrat, t. 111, p. S46) ;

I— *+:t— i+5-6+ .... =i(/4id.):

l—t.i+l.g a— l.â.3 i-t- .... = 0.10.3 ÜèK 36 (ll)ld.,p 390);

costf — cosSt-+-cos 3 o— t 05 iv-+- = -(l’oisson, Journal de l ticoie polgtechnique,

- t. XI, P 313);

1—1+1— I+l-l-t- . . . . =-(l’relin, J. d« Crrtte, I. XLI);

1»— 41+35— 1x4.51— 6 « 4 - =0 (Simonof, Mémoire sur les séries des nombres

aux puissances hamuiniquesy,

etc.