CHAPITRE
THÉORKMKS SUK LA LONVKWJKNŒ.
Thèorèinefl généraux.
f». Théorème I. Dans toute série convergente , le terme général a pour limite zéro.
Démonstration. Désignons par S la limite vors laquelle tend la somme S„ des n premiers termes, et par K„ le reste de la série; en sorte que
Chuiigeaiil n en n — 1 . nous aurons ^
^«-1+ Rii-i =
Ces deux égalités, retranchées membre à membre, donnent “h+ R;i — R«- i =0.
Mais, lorsque n croît indéfiniment, les restes R„, R„, tendent vers zéro ; donc
lim u„ 0 ('),
t>. Théorème II. Dans toute série convergente, la somme d'un nombre quelconque de termes consécutifs a pour limite zéro.
Démonstration. Conservant les notations du numéro précédent, représentons par la somme des n + p premiers termes; nous aurons
• S„+R„=S, Rn+p= *''•
Ces deux équations donnent
"1“ "1“ Rw-hp î
(’) Il est bon de remarquer, S propos de celte proposition rond.ainenlale, que la '\>nvergme» ne dépend pas dei premiers termes : la série ^
10 104 IQ4
~ T 7TÏ ~ îTiTi ■
dont les termes, >bsl raction faite du signe, vnni d'abord eu aiigmenlaiil, estcunverpciilr.
puis, si le nombre n croît indéfiniment,
Itm (m„+ . + M„+j + + u„+p) = 0 .
7. Remarques.!. L’énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que le nombre p des termes consécitufs est constant : il peut, d’ailleurs, être aussi f>rand qu’on le veut (‘).
II. Les théorèmes précédents expriment deux conditions auxquelles satisfont toutes les séries convergentes. Conséquemment, toute série qui n’y satisfait pas ne saurait être convergente. Nous démontrerons plus loin que ces conditions, nécessaires, sont loin d’être suffisantes {“).
III. Le second théorème est une conséquence du premier ; car si des quantités, en nombre limité, tendent chacune vers zéro, leur somme a pour limite zéro. Il résulte de là que si les termes d'une série, convergente ou divergente, ont pour limite zéro, on en peut toujours trouver' P consécutifs dont la somme soit inférieure à un nombre donné 'j.
En effet, pour satisfaire à l’inégalité
tln+2“l“ -\-^n4-p
(*) On verra tout ii Hieure que, sous itoe certaine condition, le nombre p peut ^tre riable et indéfiniment croissant.
(**) Cest donc par inadvertance que, dans un fort bon Traité du Caiciil difTérentiel, on a énoncé et démontré la proposition suivante :
« Pour qn*une série soit conver,;eiite, la condition nécessaire et suffisante consiste en ce que ta somme d’un nombre quelconque de termes au delà du n*, iin, joi7 aussi petite que l'on voudra, si n est suffisamment grand, n
Celle pro}K)W/ion fausse, que l'on retrouve dans la plupart des Traités d'Atgèbre ou de Calcul diiïérentiei, u été énoncée d’abord, chose extraordinaire! par réniineiU ^M'omèlre à qui l'on doit les premières recherches sur la eonver};cnce des séries. On lit, èa effet, dans les Exercices de Mathématiques (t. II, p. iil} : »
ti D'après ces princijHîs, i»our <|ue la série soir convergente. Il est nécessaire et ii suffit que tes valeurs des sommes
Su , , Su-^~'i , • • . • •
correspondantes à de très-grandes vaienrs de n, diflèrenl lrès*peu les unes des autres, ou, en d’aulrcs termes, ii est nécessaire et i7 suffit que la différence ^ in=ttw-hUii-(..|4“
devienne infiniment petite, quand on attribue au uumbre n une valeur infiniment grande, quel que soit d'ailleurs te nombre entier représenté par m. o
Nousavons souligné ce qui (si nous avons bien compris les paroles do rillnsire auieiii) constitue la propOMiiou fausse dont nous pîirbnns tout à rheure.
