Problème XXI. Sommer les deux séries

y==o;cosy +ia:*cos 2(j)+ix’cos 3 ij)+ (1)

2=xsin(p-(-|x’sin 2(}(+^a:’sin (2)

Solution. On a, d’après la formule de Moivre,

y + Z K — 1 = xef^^ -i-^x'e^’f^~‘ ;

et, en prenant les dérivées par rapport à x,

y +zV^=e’f^‘ -\-xe'^~‘

Par conséquent,

y+2É^ — 1= — /[I — a:(cos(p-|-l^ — 1 sin y)], ou

«-»(cosz — ÿ ' — l sinz)=l — x(cosçp+/^^sin 9). (4)

Cette équation se partage en ces deux-ci ;

e“!'cosz=l — XC0S9, e~*sin z=a; sin 9 ; d'où l'on conclut

sr sin c3

e-’‘'=l-2a:cos9+a:*;

c’est-à-dire

Où sin V t

*=*•■■" ‘s 1 =:^’ y=-âai- 2 xcos 94 -x*)n. ( 5 )

180 . Remarques, I, Si l’on change 9 en ^ — 9 dans les séries (1), (2) et dans les formules ( 4 ), ( 5 ), on obtient

(•) C«s résuUals icniüniuahles soiil dus, ju crois, à M. Lobalto [Rtcherches tur la tommation de quelques séries trigoiivméihques. Dclll, 18i7).

CllAPlTKE VI. —SOMMATION DES SEKIES. . 105

xsin f — cos2y— ix’sin 3y-t-^x*cos4(p+gÆ*sin5(p —

' = — ^/(l — 2xsin(p+x’j,

xcos^-|-^x’sin 2f — gx’cos 3ip — ^x‘sin4^ + gX^cos 5;p-|-... ..

XCOSf

= arctgj^jjij^: ,

pois , par le changement de x en — x :

xsin9+'X*cos2ip — gx’sin3(j) — jX*cos49-(-gX’sin5(p-|-

=|/(l + 2xsin(p+x’),

XCO 89 — ^x’sin2(p— gx’cos3ip+^x‘sin4ip+gX*co8 5Ÿ—

, xcosv

= arclg; — .

l+xsin f

Ces quatre dernières relations, combinées deux à deux, donnent