PRÉLIMINAIRES

1. D^FinmoN. On appelle série une suite indéfinie de termes procédant suivant une loi déterminée.

D'après cette définition, l’on doit toujours pouvoir calculer un ferme de rang donné, soit directement, soit au moyen des termes qui le précèdent (*). Autrement dit, si les termes d’une série sont désignés par

le terme général u„ est fonction de n.

!2. Diverses espèces de séries. Désignons par S„ la somme des n premiers termes d’une série, savoir :

S» = Ui-f-Mi-|-Ma-l- + “ii'

Cette somme, aussi bien que u„, est une fonction de n. Cela posé, trois cas peuvent se présenter :

1° Si la somme S„ des n premiers termes tend vers une limite finie et déterminée S, lorsque le nombre n croit indéfiniment, la série est dite convergente;

2" Dans le cas contraire, c’est-à-dire quand la somme S„ peut

O Par exemple, le TiDgl-neuviènae lcrmo de la progression 3, 7. II, 15,

peut tire oblenu, soii direclêÊtunl, au ino}ea de la formule ii«:3 3-)-i(ii— l), soit par des additions suecessiTcs.

croître (en valeur absolue) au delà de toute limite, on dit que fa série est divergente ;

3" Enfin, s'il arrive que la somme S„, sans croître nu delà de toute limite, n’ait pat de limite déterminée, la série n’est nf ronvepgente ni divergfnte : on peut lui donner le nom de série indéterminée [').

3. D’après ces définitions, une progression par quotient, illimitée et décroissante, est une série convergente ; une progression par quotient, illimitée et croissante, est une série divergente: enfin la progression

+1, — It +1. — 1. -1-1. ...»

dont le terme général est ( — 1)* (•*) “', constitue utie série indéterminée; car égale 1 ou 0, suivant que n est impair ou pair.

4. Les séries convergentes sont les seules qu’il soit utile de considérer, parce que les autres séries ne peuvent représenter aucune quantité (”), Il est donc nécessaire de savoir reconnaître si une série proposée est convergente ou non convergente. C’est à quoi l'on parviendra, presque toujours, en appliquant les règles démontrées dans le chapitre suivant.

(*) La plupart «les aulvurs font renirer cette IrotMèmc espèce de série dans 1a catégorie des séries divergentes. Cette classiücaiion nous pacall coniraire à l'éiyiiioUigie et à la signiticaliou habituelle du mol divergent. La deuoiniiialion de sétie indéterminée i été pro|»osee par M. L. Olivier {Journal de Crelie, t. II).

(•*) Il y a plus; les expressions : limite d'une série, somme d'une série, n’onl évideminenl aucun sens, lorsque la série u'esl pas couvergeuU*. On peut donc s'étonner que du savants géomètres aient éuoucé les propositions suivantes :

— i-M— H- ï=i (l„îtcrnix, l. III, p.

t=0.t03CaH36 {itÀd.,\*. 390);

t-osv— cus3«-h:os3v— cosiVH- — -(Plli^son, Journal de l'Écuie poiytechnitiue,

^ l. XI, |> Ï13);

1 — H-1— 1+1 — 1+ (Prelin, ffc Creifc, I. XLI);

1I ÎJ+3«*Ï4-5S— 6*+ 0 (Siinonof, •Wi'moir» sur les séries des nombres

aux puissances harmoni(/ues};

eic.