THÉORÈMES SUR F.A CONVERGENCE
Thèorèmet généraux.
5. Théobèiie 1. Dans Utult série convergente, le terme général a pour limite zéro.
Démonstration. Uésignons par S la limite vers laquelle tend la somme S„ des n premiers termes, et par R„ le reste de la série; en sorte que
. s» + Rii=s.
changeant n en n — 1 , nous aurons
Ces deux égalités, retranchées membre à membre, donnent
U|i+Rii — R b i =0.
Mais, lorsque n croît indéliniment. les restes R„, R„, tendent vers zéro ; donc
lim u„ — Q (*).
6. Théorème II. Dans toute série convergente, la somme d’un nombre quelconque de termes consécutifs a pour limite zéro.
Démonstration. Conservant les notations du numéro précédent, représentons par Sn+p la somme des n+p premiers termes; nous aurons
Srt+Rn='''. R„^.p= S.
Ces deux équations donnent
(*} Il est bon de remarquer, S propos de celle proposition rondainenlale, que la ronvtrgmce ne dépend peu des premiers termes : la série
tO 10» IQS
dont les termes, abstraction faite du signe, vont d'abord en augmentant, est convergente.
puis, si le nombre n croît indéHniment,
/«'*» (u«+, + tt»+5+ 4-tt„+p)=0.
7. Remarques. I. L'énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que le nombre p des termes consécutifs est constant : il peut, d'ailleurs, être aussi grand qu'on le veut (*).
II. Les théorèmes précédents expriment deux conditions auxquelles satisfont toutes les séries convergentes. Conséquemment, toute série qui ny satisfait pas ne saurait être convergente. Nous démontrerons plus loin que ces conditions, nécessaires, sont loin d'étre suffisantes (**).
III. Le second théorème est une conséquence du premier ; car si des quantités, en nombre limité, tendent chacune vers zéro, leur somme a pour Imite zéro. Il résulte de là que si les termes d'une série, convergente ou divergente, ont pour limite zéro, on en peut toujours trouver P consécutifs dont la somme soit inférieure à un nombre donné d.
En effet, pour satisfaire à l'inégalité
Wrt+|-t“
[') On verra tout à l'Iicarc que, sous une cermine condition, le nombre p p«i( être rafiable et imU/lniment croissant.
(••) Ccsl donc par inadvertance que, dans un fort bon Traité de Calcul dillci'entiul, on a énoncé et démontre la proposition suivante :
« Pour qiCune série soit convergente, la condition n^ereuire et suffisante consiste en ce que la somme d’un nombre quelconque de termes au delà du 11% ii,,, soit aussi petite que [on voudra, si n est suffisamment grand. *
Celte proposition fausse, que l’on retrouve dans la plu|>art îles Traités d'Alsèbre ou de Calcul difTéreiitiel, a été énoncée d'abord, chose extraordinaire! par l'éminent géomètre à qui l'on doit les premières recherches sur la convergence des scries. On lit, en effet, dans les Exercices de Mathématiques (t. II, p. Xél) :
« D'après ces principes, pour que la série soit convergente, il est nécessaire et il suffit que les valeurs des sommes
Se , s»+i , J»-,.,
correspondantes b de très-grandes valeurs de n, diffèrent très-peu les unes des autres, ou, en d'autres termes, il est nécessaire et il suffit que la différence
— S* = Ma-f-IOc4-l-t* -|-Un^-a,— I
devienne infiniment petite, quand on attribue au nombre n une valeur infiniment grande, quel que soit d’ailleurs le nombre entier représenté par m. n Nousavons souligné ce qui (si nous avons bien compris les paroles de l'illustre auteur) constitue la proposition fausse dont nous parlions tout à l'heure.
