Tbéob6me. Soit une série convergente

dont les termes, alternativement positifs et négatifs, déwoissent indéfiniment. Si Von fait

(•) Non contents de résoudre ce problème, plusieurs géomètres ont prétendu tratuformer cerîalan tériet divtrgmiet m léries convtrgmUs. Nous crojons que cet éuonoé est un non-sens. *■

('*) Tracts on maihmatical and phUosophical tubjtclt, 1. 1, p. 176 (ISIS).

('") Elle 3 été reproduite pur M. Ponci'Ict, dans son Mémoire sur tappticaUon de ta méthode des moyennes {Journal de CreUe, I . XIII.)

TRAITÉ ÉLÉMEirrATRE DES SÉRIES.

“i — m, = Au,(‘), «, — U 3 = A«,, u, — «4 = Au,

Au| — Au,= A*u, , Au, — Au,=A*u,i Au, — Au,= A’u,,

et que Von suppose

Au,>Au,>Au,>

on aura

Démonstration. On a, d'après l’équation (1) :

c’est-à-dire

2i=u, -f Au,— Au,-hAu, — Au,-f- ; (2)

ainsi les différences premières, prises altemalivement avec le signe et avec le signe — , forment une série convergente.

La transforniation précédente, appliquée à l’équation (2), donne

4s= 2u, -I- Au, -1- A'*u, — A’u,-|- A’u, — (3)

puis

8s= 4u , -f- 2Au , + A ®u , -1- A'u , — A’u, -J- A’tt (4)

1 6*= 8u, -1- 4 Au , -f-2A’u, A’u, A’u, — A’u, ■+■ (5)

Actuellement, en vertu des hypothèses précédentes et des équations (2), (3), (4) ona

«<^U,-|-jAu, + Îa’u,,

*>^«i + j'^«.+gA’u,, s<îu,-l-jAu,-f-iA’u, + lA’u,.

(*) ABn que toutes les différences soieM positives, on fuit les soustractions dans un ordre contraire B celui qui est généralement adopté.