g, 3g‘, 4g’ ng

(*) Ce |»rocW* est tout à fait semblable àceini que l'on ein|iloie^en ariihniéllqtie, f>our

démontrer la furimilc des progressions par quotient : S = \**) Cn elTel, lorsque 7 est coinpri'. entre —I el -»-1 .

TRAITK FXKME\TAIUE DES SÉRIES.

obtenue en mulliplianl terme à terme les deux progressions

est égale au carré de la somme de la seconde progression (*).

69. Remargue. Si ia quantité g, au lieu d’être réelle, a la forme p(cosû) + |/ — 1 sin w) , la série considérée devient

1 4 “ 2p (cos w -j- 1/^ 1 8in«)-i-3p’(cos2&)4-f^ — 1 sin 2û))-f-...,,' 4“fip”~'(cosn — 1 Isinn— 1 w)4-

D’après un théorème démontré (45), cette dernière série est convergente lorsque le module p est inférieur à l’unité. Dans ce cas, la formule (A) devient

(1 — ?co8 w4- pv ' — i sin6>)»

[t — — Isinw)]’ [t — P cos«)*-f-p*sin*M]*

On a donc, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires :

l—îfCOSw+pïcosSM ^ ^ •

Tl~ 2 pcos 6 ,-hp^)« =H-2pcosw+3p cos2o)4- -l-np"-’‘co8(n— l)w-H.

2(1 — pcos«)8inw • .

• (T- 2? cos «-!-?*)» 2sinw-^3psin2wH- 4-np""'‘sin(n— -i)wH- (C)

70. Problème XII. Déterminer la somme des n premiers termes ' de la série dont le terme général est

Solution. De

S,=a, , S,=a, S5=a,*-f-a,(o,H-a,)+a,(a,-ha,-ha,),

on conclut

2S, flj -i-u,*, 2S, — (fliH“Uj)*”4“Ui ■•+• flj"»

2S3=(a,+fl,4.a3)*-f-a,*-|-aj*-f-a5®,

et, en général,

2S„=(a,4-fl,4- (D)

(*) La formule du binôme conduit plus rapidement à ce résultat.