Problème XIII. Sommer la série

■il+

l'indice a étant quelconque, mais constant. ^

Solution. A la somme S„ des n premiers termes, ajoutons la quantité

En=a«(a«+-«!i + aa)+a»+i(o,+a»+ +a.+,)+

■+■ a».+-n-i(aB+i+ ■f'ai-Mi— i) ( )î

nous aurons, en multipliant par 2,

2C„=aa H-a«Vii— I

(') Nous les démoDlrerons plus loin.

(••) Co résultat, el heain oup d'autres du même uenru.snnl dus à Eiile ' et à Goldl>adi. Voir la Correspondance de ces deus géomètres, piililii'-e par M. Fiiss.

(•••) Si a=l, C,=0.

aiAPITRE III. — SOMMATION DE QUELQUES SÉRIES. 47 d’où, en conservant les notations employées dans le Problème XII ,

Tî. Application. Soit a„=q"~\ auquel cas la série devient

Nous aurons

C»=g»-‘(9+9’+-+9*"'H-9*(î’-+-9’+ +î*)+ -li[»+"-’(9"+9"-^'+.....+9»+«-»)

V 1-, I y-rv-î- -rv J y (i-9)(i-9*)

ou, en simplibant,

Cette formule donne

'“S.=s=p=Sî=rt'

ainsi qu’on peut le vérifier directement.