Théobèhe XXV. Une fonction quelconque est développable
suivant la série de Mac-Laurin :
/(*)= f[o)+ ïr(o) + of(o)+ -i-u!^rw+ (B)
si la quantité
tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment.
Démonstration. En supposant a:=0 dans la formule de Tajior, et remplaçant ensuite la lettre h par la lettre x, on obtient
A«)=A®)+i r (B)+îir (o)+
etc.
110. Remarques. 1. L’énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que f[x) et toutes ses dérivées restent finies et continues pour x=0. Si le contraire arrivait, on remplacerait la formule (4) par celle-ci :
:/(a)-+-VrW-
^Vw+ (■*)
que l’on obtient en changeant x en a et A en x — a dans la série de Taylor.
n Dne il M. SchlBmilcb.
CHAPrraE v.— développements en séries.
H. £a série de Mac-Laurin, sttpposée connergente, peut n'avoir pas pour limite f(x). Pour le faire voir, prenons
9 ( 2 ) étant une fonction qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées, pour æ=0. Il est facile de reconnaître que la fonction expo-
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nentielle e et toutes ses dérivées s’annulent avec x. Si donc l'on appliquait la formule (4) au développement de f\x), on trouverait
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ou
ce qui est absurde.
AppUoatloot tliéor΀« préeédeAict.
m. Fobmcle DU BINÔME. 1' Si l'on suppose ^(x)=(l+x)", la série de Mac-Laurin devient
Elle est convergente lorsque x est compris entre -|-1 et — I (15, III); mais, afin de savoir si elle a pour limite (l-i-x)”*, il est essentiel de former l’expression du reste. Or, la formule (10) donne
.x'xi
t étant le nombre entier immédiatement supérieur à m.
Cela posé, si x est positif et moindre que l'unité, le produit
(i— in)a! (i+1 — m)® {n — m)x
“TÏT" ’ ï+2 n-H ’
66 TRAITÉ ÉrÆMENTAIRE DES SÉRIES.
dont tous les facteurs sont inférieurs à a;, a pour limite séro. En même temps,
donc {tmllc=0,
et
2* Soit f[x)={l — x)". Alors >
Mais, à cause du facteur qui peut être très-grand, et
même infini, la valeur de R, employée ci-dessus, n'est plus applicable.
Il faut donc recourir à la formule (11). Elle donne
Le premier facteur diminue encore indéliniment lorsque n croit. De plus, à cause de ■ I® second facteur a pour limite zéro, ou
du moins il reste inférieur à l’unité ; donc
lim R=0, et
(l-x)-=l-^aH-’^ï^x'- n.(D)
