En effet, les équations (.3), (4), (5) donnent

ou, en remettant * au lieu de a — A,

ce qui est précisément l'équation (2).

108. Remarques. I. Si le reste R tend vers zéro lorsque n croit it définiment, on a

TI. Pour que cette égalité ait lieu, ou que f{x-\-h) soit développable suivant la série de Taylor, la valeur attribuée à x ne doit rendre infinie ni f[x) ni aucune de ses dérivées. En même temps, l'accroissement h doit être sufOsammcnt petit.

ITT. Si, dans la formule (2), on suppose, successivement, p=n, p=0, on obtient

p'+'ix-heh).

Ces deux formes dn reste sont très-fréquemment employées.

IV. Au lieu de snpjioser la fonction <j»(*) égale à x>^', laissons-la complètement arbitraire; nous aurons, par les équations (7), (4), (5),

^■[(1-0)/.] 1.2 fl

ou

f«-^‘[x+Sh).

Dans celte expression très-générale du reste d« la série de Taylor la fonction arbitraire <j/(i) est assujettie seulement à ces deux conditions : 1* elle doit rester finie et continue depuis a:=0 jusqu’à x=A; 2” sa dérivée doit, dans le même intervalle, rester finie, continue et différente de zéro.

SérM d*