Développement de sinx. De f{x)=sinx on déduit

P{x) = COSX, n ^)— — /"’(*)= cosx,

P'‘{x)z=s\nx=f{x), p{x)=f'{x) :

pois

/(o)=o, /'(o)=i, r(o)=o. rw=—i, p'{o)=o :

donc

Sin *—*—1735 + 1 . 2 . 3 . 4,5 — ± 1 .2. . . (2n-l ) ■*■ TT. . .{2n+i ) '

La fraction i~ 9 — j'Tjy a pour limite zéro; de plus, cos (Sx) est compris entre — 1 et +t. Par conséquent,

sinx=x TT3"*"t.2.5.4.S * 1.2.3.. .(2n—l)^

quelle que soit la valeur de x.

114 . Développement de cosx. On trouve, absolument de la même manière,

cosx=i--+ — - ±i:2:5.....(2^2,t (G)

lltf . Remarque. Si, dans le développement de e*, on change x en xÿ^ — l, on obtient

l+îj/ZIi- 4. . 5 ! |/— i

La partie réelle de cette série est égale au développement de cosx,

TRAITÉ ÉLÉMENTAraE DES SÉRIES.

et les coefficients de / — 1 forment le développement de sinÆ. On ex* prime ce résultot par VéquaU'on tymboUque

cos*-)-|/ — 1 sin x,

dont les conséquences sont excessivement nombreuses (*).

H6. Développement de l(l + x). Si, dans la formule de [Mac- Laurin, nous supposons /(x)=f(l+Æ). nous aurons

n*)=l-2(H-®’)! f%x)=±i.2 (n— ixi-f-»”)"

pais

/io)=o. no)=i. m=-u

par conséquent, ,

avec .

à cause de la formule (5).

Nous savons (15) que la série

X X* xi' , as*

est convergente lorsque l’on a

et qu’elle est divergente dans tout autre cas. Cela posé :

1° Si la valeur de x est compriee entre 0 et i, inchtsivemenl, la

(') Par exemple, si l'ou élève lesdesx membres i une puissance quelconque n, et qu'ensuUe on y remplace x par nœ, on obtient

r"*'^“'=(cos *-(- 1/ — I sin»)*,

{osb» 4- sin n»;

donc

(cos»+v/— I sin»)"= ÎOSIIX+ 1 sin n».

e<‘itc relation conslitiic la formuttilf Hoivre.