CHAPITRE VI. — SOMMATION DES SÉRIES

sivcment par sin et sin 2'5(J's, puis qu'on intègre entre O et ir, OB trouve :

Ainsi

A JV'?sin çrf^+B Jje-“9siDfdf=:^^,,

A j^V?sin 2<fdo+Bj%-“’f sin 2^= ^

L’intégration par parties (l-iO) donne aisément

donc

A((r+l)+B(e-“'+l)=^, A(e“"— l)4-B(c-<"— l)=î; ou

Ae^+Ba-^^O, A+B=|,

'") En généril, si une funclion Rz) est développable de la manière suivante: Rz)= A, sin z-eAjSin »x-t-AiSin3z+ -t-AnSin »z+

,=?J;rz)s

En cflel, un terme quelconque, autre que A„ sin nz, donne l'intégrale

Ap r%inpzsinnzdz=jAp I *[cos(p— n)x-t-eo8{p-fn).T]dz=- Apf^iî!-^^ — n]z^5În(p+^| J U * J 0 a t P—'» P-t-n J

en sorte qno toutes les intégrales sont nuiles, excepté

An / * si n*nzdz=- An f *(l— cos»«x)dz=!ï An.

Jo ^ Jo S

La mtme méthode est applicable aux séries <|ui procèdent suivant les cosinus des multiples d'un arc z.

(■*) Par exemple,

si u odŸ cos f-co /'«“t cos çdtp =— r“’ cos o-i-o[t‘’tsin tf—a siu^duj;

donc J e“t sin«df=YI^^[«**-M] ; etc.

et eiiGn

ün trouve, de la même manière,

Les valeurs de y, et de z, sont donc

^ T) Tr<î®t—

de sorte que

sin? . „ 5 inî? , ,sin3? , » sin4<f

iqra'-‘''^Â+^+'*9+a*‘^^iU+a«^ “2

sin® -siiiSo , „sin3<p . sinA? re«*— r-“»

488. Remarques. I. Ces deux formules (qui rentrent l’une dans l’autre) subsistent pour toutes les valeurs de a comprises entre 0 et tt : la première est en défaut pour çp= 0 , et la seconde, pour (fz=n.