Problème XXXVIII. Développer la fonction

arc sin (costa 4- V~~ 1 sin ta).

Solution. La formule (D) du n° 142 :

arc sinÆ=*4 1-.

t S3 t HS t U6 7 t

devient d’abord

arcsin (cos(ü-f-I / — ï sinw) (3)

=2, (2« 1 )“ + y'—l sin(2n-l)o>].

Soit

arc sin (cos ta-)-/ — 1 sin <i>)=A + BI / — 1,

ou

cos ta 4- V — lsin ta=sin (A+Bp^— 1).

On conclut aisément de celte équation :

2costa=(e ll 4-e~ B )sin A, 2sino)=(e B — e~ c ) cos A ;

puis

cos* w sin* m j

sin* A cos* A ’

et enfin

cos A=l^sin ta,

sin K—V 1 — sinta, B=/(K 1 4-sin ta-f-K sinta).

Ces valeurs, substituées dans l’équation (3), la décomposent en ces deux-ci :

arc cos (v sin co)=cos w 4- — cos 3u + jrj-ÿCos 5w-f-

/[^l-t-sinû>4-^sinû)]=sinu-f-r^sin 3o)-f-^-^siu 5u4- ;

d’où l’on en pourrait tirer beaucoup d’autres.