sin
sin Su
II. La combinaison des quatre dernières formules donne encore ces résultats remarquables :
.«in 6)
cos(cos«)=l-f e ,lD "sin(cos w) =
sint» cos cos 5(4 cos4«
sio 5(4
cosu i sin2u cos3u sin lu t cos Su
211. Problème XXXV. Développer les fonctions sin (pe“ v/- ‘), cos(pe“V / ~).
Solution. Les formules
sin x—j-
ar
ÎT2T3
donnent
sin (pe a ' l/-l )=^]"( — l)“p 2 ' H " , [cos (2n + 1) « + 1/— 1 sin (2n +1)»], cos(pe ul/=r )=2 0 ( — l)"p în [cos2n«+K — lsin2n&)].
Il reste à transformer les premiers membres. Or,
sin(pe“ v/-1 )=sin(pcosu+l^ — 1 psin <u)
= sin (p cos to) cos <Y — 1 p sin w)4-cos (p cos u) sin (/ — 1 p sin a>)j = l sin (p cos u ) (a? sin “+e-P ,in “)+ 1 cos (p coso>) (e? ,ia •— e~f ,ia w ) .
cos (pe" >l/1 ) = cos (p cos <a + ^ — 1 p sin co)
= cos (pcosu) cos(/ — 1 psinu) — sin (p cos to) sin (V — 1 psinw)
= \ cos(p cos «) («? lia “ +e -P 9in “)1 gin (p cos M ) (e? ,in e -? ain “)/Hï .
Donc
^ e psiou j e f »mu) g j n (pcog w )— ; t COSo) — ~^C0s3&)4-....., (L)
1 ^ .in « e -p •in cos ( p cos w)= j COS to— ^ COS 3u + , (M)
1 ( e ? si » “4-e~P ,in ") cos (p cos u) =1 — ^cos 2u 4- (N)
1 ( e p «->“ e -p •'“*) gin (p cos u) = ^sin 2u— j-^sin 4w+ ; (P)
puis
e? ,ta “ sin (p cosu) = | cos u 4- ^ sin 2u — -ppjj cos 3u — (Q)
e? ,in “ cos (p cos u) = 1 4- |-sinu — ^ cos2u— ; (R)
etc.
212. Problème XXXVI, Développer la fonction l( 14-pe“' / ')• Solution. En opérant comme dans les problèmes précédents, on a d’abord
/( 14 -pe “ v/ ' =r )=2 ( — 1 )" -1 ^[cos»iu4-l /r — 1 sin nu] ;
puis, si l’on suppose
/(l +pe “V^)=:A4-BV / ^ï :
l-t-p(cosu4- V — 1 sinu)=e^(cosB4-^ — 1 sin B) ;
\ . „ . psinw
A=^(H-2pc 0 su4-p*). Bzzzarctgj^^;
1 /(l42p cos u4-p s )= ÿ cos u — cos 2u 4- |"C0S 3u — j- cos 4u4- • • • • , (S) arçtg- =jsinu — p — sin2u4-7rsin3u — p -sin4u4- (T)
^l-f-pCOSt» 1 Z O 4
Ces formules ont été trouvées dans le Chapitre VI (Probl. XXI).
215. Problème XXXV11. Développer la fonction arc tg {pe t " x/ ~'). Solution. On a
arctglpe^-)^^— l) n -‘^[cos( 2 n-l)u+K-lsin( 2 n-t)u]. Soit arc tg (p cos w4~ V — 1 p sin u)= A4- B / — 1 ;
alors
puis
arc tg(pcosu — jA- — 1 psin w) — A — Bj/ — 1 ;
2A=arctg^, 2B/-l=arc tg^ÿ
iv ' — 1 psin»
