Application. Les séries
p, cos a 4 -p.cos (0 ' H-d)4-p s cos (a 4- 2 J) 4- +p„ C09 (a+n — 1 â) 4- ,
p,sin a+p,sin(a+4)+p s sin(a+24)+ +p„sin (a+n— 14) + ,
(*) Peut-être pourrait-on dire : est toujours vérifie».
(**) Cependant, si lim cos <»n= 0 , la série (S) pourra être convergente. De même pour l'autre série, si lim sin m„=0.
sont convergentes lorsque les modules p, , p,, p 3 , p n décroissent
indéfiniment. Cependant, si d= '2kn, elles peuvent être divergentes.
1° Si l’on pose
cos a- h cos (a+ d) + cos (a-\- 2d) 4- + cos (o+ n— 1 d)t =2 A„ ,
sin a+ sin (a-t- d)-f- sin (a+ 2d) + sin (a-(-n — ld)z=B„ ,
on trouve aisément (en supposant sin i d dilîérent de zéro) :
sin -S . siP-j® . , .
A„ = — - cos f a + d] , B„= —f- sin(a+ — dj.
sin -î
Chacune de ces deux sommes est comprise entre -| — et — — — ;
sin-î gin-â
donc (49) les séries proposées sont convergentes.
2° Dans le cas où l’on aurait sin id = 0, ou d = 2kn, les séries se réduiraient à
d 1 cosa+d,cosa-t-d 3 cosa+
d, sin a + d, sina-t- d 3 sin a+ ;
en sorte qu’elles pourraient être divergentes.
52. Remarque. Si d est commensurable avec la circonférence, les fonctions A„, B„ sont périodiques; et, par conséquent, les séries
cosa+cos(a+d)+cos(a+2d)+
sina-4-sin(a-l-d)+sin (a+2d)-f-
sont indéterminées. C’est donc à tort que divers géomètres se sont proposé d’en déterminer la somme (*). Dans le cas où les arcs d et ir n ont pas de commune mesure, les mômes séries sont encore indéterminées; car
(•) Voyez, ci-dessus, la noie du numéro 4. Voyez aussi les Nouvelles Annales de Mathématiques, 1. 111, |>- 570.
CHAPITRE II. — THÉORÈMES SCR U CONVERGENCE. 35 A„ = -Aj- [ si n («4- #) — *in (a— *) ] ,
2sin- A
B «= — V'[ cos ( a ~ l)~~ C0S ( a +^V^ <*) ] ;
2sio - S
et ces fonctions, sans repasser périodiquement par les mêmes valeurs, d’une manière absolue, n’ont pas de limites lises (*).
(*) Le lecteur ijui voudra étudier d'une manière plus complète la convergence des séries périodiques, devra consulter les travail* de MM. Uirielilet, Malmsleu, Bjürling, etc.
