CHAPITRE II. -THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE

dans laquelle tous les termes sont supposés positifs, il suffît de rendre

IV. Il y a cette différence entre les séries convergentes et les séries divergentes, que, dans toute série convergente , la somme de p termes consécutifs tend vers me limite, quand le nombre p augmente indéfiniment. et que, dans les séries divergentes, cette somme croit indéfiniment avec p, quel que soit le rang du premier des termes considérés. Ces deux propriétés, que l’on pourrait regarder comme évidentes, résultent, très-simplement, des principes précédents.

En effet, si la série est convergente, on a

S«+ p — S„ -I- R„ +p — R„= 0 ; puis, en supposant n constant et p variable,

lim (S„ +p — S,,) — R„ = 0 , ou lim (S n+p — S n ) = S — S„.

Au contraire, la série étant divergente, la somme S^p peut dépasser toute limite : et il en est évidemment de même pour (S n+p — S„) (**).

8. Théorème III. Dans toute série convergente, la somme d’un nombre indéfiniment grand (***) de termes consécutifs tend vers zéro, lorsque le rang du premier de ces termes augmente indéfiniment.

Démonstration. Dans l’équation

( u n-H’+ u iM-2+ + u n+p)+8n+p 8 n =0 ,

supposons que p soit une fonction de n, qui devienne infinie avec cette variable. Nous aurons, en passant à la limite,

lim («„+,+ « n+2 4- + M n+P )=0,

absolument comme dans le cas où p était supposé constant (6).

(■) Dans la plupart des cas, les termes de la série vont en décroissant, do moins à partir de l'un d'eux. S’il en est ainsi, l’inégalité ci-dessus sera vériliée dès que l’on aura

(**) Toujours en supposant n constant.

(•”) Indéfiniment grand signifie ici : qui croit indéfiniment.

9. Remarque. Cette proposition , beaucoup plus générale que le Théorème II, n’exprime pourtant pas une propriété qui appartienne exclusivement aux séries convergentes, four le montrer sur un exemple simple, considérons la série divergente

En supposant p—n , nous aurons

Tous les termes du second membre sont moindres que 4- ; donc

1 nln

et, conséquemment, lim (S, l+) , — S„) = 0 .

Ainsi, la somme d'un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs peut avoir pour limite zéro, sans que la série soit convergente (**).

10. Théorème IV. Si les termes d'une série sont, en valeur absolue, respectivement moindres que ceux d’une série convergente dont tous les termes ont mène signe, la première série est convergente.

Démonstration. Décomposons la somme S„ des n premiers termes de la série convergente en deux parties a n , b n ; a„ représentant l’ensemble des termes correspondant aux termes positifs de la première série, et b„ In somme de ceux qui correspondent aux termes négatifs de celle-ci. Désignons par S'„, a'„, b’„ les quantités analogues, relatives à la première série. Nous aurons

La seconde série étant convergente, les sommes positives croissantes a„, b„ ont des limites a, (3 ; donc les sommes positives croissantes a' n , b' n , respectivement moindres que les premières, ont des limites a, (3'; et la somme S'„ a pareillement une limite, égale à

(■) Voir i>lns loin, n" 29.

'") Celle proposition jusiiüe ce que nous avonsdil ci-dessus (n* 7).