THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE
Théorèmes généraux.
8. Théorème I. Dans toute série convergente, le terme général a pour limite zéro.
Démonstration. Désignons par S la limite vers laquelle tend la somme S„ des n premiers termes, et par R„ le reste de la série; eu sorte que
Changeant n en n — 1 , nous aurons
Ces deux égalités, retranchées membre à membre, dumieiil
Mais, lorsque n croit indéfiniment, les restes R,„ R„, tendent vers zéro ; donc
lim u„ =0 (*).
6. Théorème II. Dans toute série convergente , la somme d’un nombre quelconque de termes consécutifs a pour limite zéro.
Démonstration. Conservant les notations du numéro précédent, représentons par S H+p la somme des n-f-p premiers termes ; nous aurons
Ces deux équations donnent
(•) Il est bon de remarquer, à propos de celle proposition fondamentale, que la ruuvergence ne dépend pas des premiers termes : la série
io in* io»
dont les termes, abstraction laite du signe, vont d'abord en augmentant, est convergente.
puis, si le nombre n croît indéfiniment,
lim (u, 1+ , + + + u n+p ) = 0 .
7. Remarques. I. L’énoncé et la démonstration du dernier théorème supposent que Je nombre p des termes consécutifs est constant : il peut, d’ailleurs, être aussi grand qu’on le veut (*).
II. Les théorèmes précédents expriment deux conditions auxquelles satisfont toutes les séries convergentes. Conséquemment, toute série qui ny satisfait pas ne saurait être convergente. Nous démontrerons plus loin que ces conditions, nécessaires, sont loin d’être suffisantes (**).
III. Le second théorème est une conséquence du premier ; car si des quantités, en nombre limité, tendent chacune vers zéro, leur somme a pour limite zéro. Il résulte de là que si les termes d’une série, convergente ou divergente, ont pour limite zéro, on en peut toujours trouver p consécutifs dont la somme soit inférieure ù un nombre donné o.
En effet, pour satisfaire à l’inégalité
(*) On verra tout à l’heure que, sous une certaine condition, te nombre |> peut tire variable et indéfiniment croissant.
{**) C’est donc par inadvertance que, dans un fort bon Traité de Calcul diiTérentiol, on a énoncé et démontré la proposition suivante :
« Pour qu'une série soit convergente, la condition nécessaire et suffisante consiste en ce que la somme d’un nombre quelconque de termes au delà du n», Un, soit aussi petite que Von voudra , si n est suffisamment grand. »
Celte proposition fausse, que l’on retrouve dans la plupart des Traités d’Algèbre ou de Calcul différentiel, a été énoncée d’abord, chose extraordinaire! par l'éminent géomètre ù qui l'on doit les premières recherches sur la convergence des séries. On lit, en effet, dans les Exercices de mathématiques (t. Il, p. 231) :
« D’après ces principes, pour que la série soit convergente, il est nécessaire et il suffit que les valeurs des sommes
, Ïn+I , Su-H
correspondantes il de très-grandes valeurs de n, diffèrent très-peu les unes des autres, ou, eu d’autres termes, il est nécessaire et il suffit que la différence în+m™" î« = M»+ Un+i+ . . • . .-f- Vn-\-m — 1
devienne infiniment petite, quand on attribue au nombre n une valeur infiniment grande, quel que soit d’ailleurs le nombre entier représente par m. »
Nousavons souligné ce qui (si nous avons bien compris les paroles de l’illustre auteur) constitue la proposition fausse dont nous parlions tout à l’heure.
