III. La série

i | q+c | fa-4-c)(2a+c) | (q+c ), ■ .(» — t a+c)

b+c ( b+c ) (26+c) -i -t "(fc+c).. .{r7= I b+c)

dans laquelle a, b, c sont des quantités positives, est convergente si a est inférieure à b. Dans le cas contraire, elle est divergente.

(•) Par exemple, ainsi qu'on le verra plus loin, la série

est convergente, el la série

est divergente.

(’*) La somme de celle série, ordinairement désignée par la lettre e, est la base des logarithmes népériens.

(***) Elle a pour somme

En effet, dans le premier cas, les termes sont, à partir du troisième, respectivement moindres que ceux de la progression décroissante

etc.

Règles de convergence.

13. Théorème V. Une série est convergente si, à partir d’un certain rang, le rapport d’un terme au terme précédent, pris en valeur absolue, est constamment inférieur à un nombre donné , moindre que l’unité.

Démonstration. D’après le Théorème IV, il suffit de considérer le cas où tous les termes sont positifs. Or, si l’on a

U *+P Wn+p— 1

et étant une constante positive, inférieure ù l’unité, il en résulte que les termes

sont respectivement moindres que les termes de la progression décroissante

aU n , et u, j, »•••«' ,

Et comme cette progression forme une série convergente, il en est de même pour la série proposée.

14. Remarques. I. Ordinairement ce théorème peut être énoncé ainsi : Une série est convergente , si le rapport d'un terme au terme précédent, pris en valeur absolue, tend vers une limite moindre que l’unité.

II. Cependant la première proposition est plus générale que la seconde : il peut arriver, en effet, que le rapport n’ait p as d e

(') A cause de

na H- c a-f- c

nb -f- c 0 c