Problème XXI. Sommer les deux séries

y = x cos <f + - x* cos 2<p + ^ Æ 3 cos 3ç+

s=æsinip+-a: , sin sin 3(p-f-

Solution. On a, d’après la formule de Moivre, y ->rzV — 1 =xe* v '- T -f- ^ et, ën prenant les dérivées par rapport à x,

y +zV — 1 — e vv/= "‘ -f- x e^~ 1 + ® V p ' / ~ 1 4- ,

ou

y+zV~l —

etV-i

1 — æeîW'- 1 ’

Par conséquent,

y-\-zV — 1= — /[l — x(cos «p-f-K — 1 sin q»)],

ou

e ÿ (cosz — V — tsinz)=l — x(costp-H^ — lsimp). (4)

Cette équation se partage en ces deuï-ci :

e“»cosz=l — xcos<p, e~ ÿ sinz=xsin<p; d’où l’on conclut

tgz=.— r e -2ÿ = 1 — 2xcosp4-aj*;

° 1— accos?’ T

c’est-à-dire

z=arct Sî=ï^’ 2x008 ?+*’)(*)• (5)

180 . Remarques. I. Si l’on change ç> en 5 — <p dans les séries (1), (2) et dans les formules (4), (5), on obtient

(*) Ces résultats remarquables sont dus, je crois, h M. Loballo (Recherches sur ta sommation de quelques séries Irigonométriques. Délit, 1827).

CHAPITRE VI. — SOMMATION DES SÉRIES, xsin 9 — ix*co 82 ip— gx’sin 3 ? +^a:‘cos4y4-^ 5 sin5ip— = — 5 /( 1 — 2 xsin ç+x 1 ),

x cos 94 - \x* si n 2<j> — g x s cos 39 — - / x‘‘ sin 49 4- g X 5 cos 5ç+

X COS <p

= arc tf? j — xsiuç ’

puis , par le changement de x en — -x :

x sin ? +^x* cos 2 ? — \ x 5 sin 3 ? — \ x* cos 4 ? -f i x‘ si ii 5 ? +. = ^ l (i 4- 2x si n <p -+- X*) ,

xcos<f — * x*sin 29 — -gX* cos3<p4- -x*sin4!p4-gx’cos5ip .

= arc Ig