CHAPITRE VI. — SOMMATION DES SÉRIES

sivement par sin <pd(p et sin 2ydy, puis qu’on intègre entre O et r., on trouve :

x^ sin ^=iîT?’ n-

Ainsi

A JVv sin ? d ? +B JV°Vsin ? d ? =ï^,

A J'*e a<f si*> 2<pd©4-B^’V~ ai ? sin 2çdip= ^ — i. L’intégration par parties (150) donne aisément

sin ? d ?=SJ' X Va? 9i n = tS 1 -

jVsin2 ? d ? =- 2 - ( gÿ, j]V^sin2^-&±) (*•).

donc

A(e aTC + 1 ) + B^-t- 1 )=ï , A(e air — 1 )+ B(e- air l ) =!! . ou

Ae m ~b Be~ av —0, A+B=j,

(*) En général, si une fonction f(x) est développable de la manière suivante: f[x)=z\ t sina:-t-A a sin 2x4-A,sin3aH- H- A,sinnaH-

on a A„= - j f(x) sin nxdx.

Vt

En effet, un terme quelconque, autre que A„ sin nx, donne l'intégrale

A p r*sinp:Esinni(te=iAp r’''[cosfp-n)3:+coslp+n)a:]dj=- Ap f - n<P ~ n,Æ -f.— ? p4 ~" 1:r T = o- J o * J o â t p—n }H-n J ’

en sorte que toutes les intégrales sont nulles, excepté

An j sin’nxdr^l An (^(t— cos Sna:)<ia:=J! a„

Ja 2 i/o 2

La même méthode est applicable aux séries qui procèdent suivant les cosinus des multiples d’un arc x.

(’’) Par exemple,

/ e*f sin <pd<p = — e*v cos o-t-a fe tt ?cos <fd?=— e B? cos œ+.a[c a ?sln <f—aj e*»sin<pttç];

donc j e a »sint?d?=— ^ — - le°*H-ll ; etc.

et enfin

On trouve, de la même manière,

Les valeurs de y, et de z , sont donc

de sorte

que

sin 9

sin2 ¥

„sin 3 (?

• ••■ ^ g «« — ftn >

si n 9

0 sin2?

, o sin3 ?

sin 4 ,

ioo;

188. Remarques. I. Ces deux formules (qui rentrent l’une dans l’autre) subsistent pour toutes les valeurs de a comprises entre 0 et n : la première est en défaut pour p=:0, et la seconde, pour q> = 7r.