MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS TOUR DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

30. Pour plus de simplicité, considérons un système d’équations à trois inconnues seulement; le raisonnement ne perdra nullement de sa généralité.

Soient

i ax -4 - bjr ■+■ rs -1 -cl = o , ri'x -f- b’ y -4- c' z -4- iV — o a" x -i- b" y -+- c" z -F- d" = o , rf*x+b m y + c m z + <r = o,

les équations de condition. Soient e, c', t", e les résultats de la substitution des valeurs des inconnues, que nous nous proposons de déterminer, dans les premiers membres des équations susdites. Si ces valeurs étaient vraies, les e seraient nuis; mais comme elles ne sont qu’approcliées, ces e seront les erreurs commises, et elles exprimeront de combien les premiers membres diffèrent de o. Or, afin que ces valeurs, par les raisons ci-dessus exposées, puissent être pour nous les plus plausibles, il faudra que, en vertu des principes exposés, la somme

(a) t’-4- e' 3 -4- i"' -4- s”’’ -4- . . . = minimum.

En supposant, pour un instant, que les x, y, z,. . . représentent les valeurs les plus plausibles, l’équation (a) deviendra

j ( ax -}- by -4- cz -4- d) 3 (a'x -f- b' y -4- cz' -4- d) 3

-4- ( n"x + b" y -4- c"z -4- d) 3 -4- . . . = min .

Mais, par des théories bien connues, pour que les valeurs X, y, z,... rendent le premier membre un minimum, il faut que les dérivées relatives à chaque inconnue s’annulent. On aura donc successivement pour D*, D r , D,,. . .

I (ax -4- bjr cz -t- d) a - 4 - [a'x -I- b' y -4- c'z- 4- d')n'

( ax - 4 - by -4- cz -4- d) b -4- (a'x- f- b’y -4- c'z -4- d') b'

(ax -4- by -t- cz -4- e/) c -4- (a'x -4- b' y -t- c'z -4- d')c'

( ïa’z laby - 4 - lacz -4- lad = o,

(5) I labx -t- lb 3 y -4- ibez -t- ibd — o,

( lacx -4 Z bey -4- Z c’z -4- lcd = 0 ,

qui seront les équations normales que l’on cherchait. En

résolvant ces trois équations à trois inconnues, on obtiendra les valeurs cherchées de x, y, z. On voit, en général, qu’ayant autant d’équations de la forme (4) qu’il y a de données et partant d’inconnues, ce procédé conduira toujours à un nombre d’équations égal à celui des inconnues, d’où elles pourront toujours être éliminées.

Observons en passant que les coefficients des inconnues dans les équations ( 5 ) forment un déterminant symétrique par rapport à la diagonale, savoir :

La 7 , Lab,

Lac ,

Lab , 1 b 7 ,

L bc ,

Lac, Lbc,

et que, par suite, il

suffira d’en

calculer

une partie

D’ ailleurs, comme on a

Lab =

+ by

— La 7 -

'Luc —

— La 7 —

on voit qu’on pourra déterminer tous les coefficients (5) au moyen des sommes des carrés 2«*, et des sommes des carrés 2 (a -(- b )* des coefficients sommés deux à deux. Puis, an moyen d une Table des carrés, on trouvera facilement les coefficients avec de simples additions ou soustractions. A cet effet, nous avons donné, à la fin de l’Ouvrage, une Table qui fournit lescairés des nombres depuis o,ooi jusqu’à 1 1 ,999, tirée d’un travail de'Schweiger, et que nous avons étendue de 10 à 12, laquelle, dans les limites des observations communes et en préparant convenablement les équations, suffira dans la plupart des cas.

31 . Exemple I. — Détermination de la valeur en secondes d'une division d'un niyeau à bulle d'air.

Plaçons sur une lunette d’un cercle méridien ou d’un

théodolite un niveau, et donnons à la lunette diverses inclinaisons, qu’on lira sur le cercle. A ces inclinaisons correspondront autant de courses de la bulle d’air, et par suite autant de lectures de divisions relatives à la position de son centre.

On peut représenter chaque inclinaison ().) de la lunette, lue sur le cercle, par une inclinaison initiale x du niveau et par le nombre des divisions (») parcourues par le centre de la bulle réduite en secondes, en supposant connue la valeur angulaire <f de chaque division.

En faisant diverses expériences, on pourra obtenir les valeurs de x et de y. Voici par exemple un tableau :