THÉORIE DES MOYENNES
12. Soient a et b^b étant > «, deux nombres fournis par deux observations d'une quantité x qu'il s'agit de déterminer. Il est clair que personne ne voudra adopter d plutôt que b ou vice versa pour la valeur de a:, en supposant que les observations soient également plausibles; mais tout le monde admettra volontiers que la valeur de x est comprise entre a et b. Et comme il n'y a pas de raison pour qu'elle se rapproche plus de a que de i, ou inversement, celle valeur doit être telle, que ses différences avec a et b soient égales. On devra donc avoir
b — X =. X — a; d^où
Donc, dans ce cas, la valeur la plus plausible de x est la moyenne entre les deux quantités.
S'il s'agît de quatre valeurs observées de x, par exemple fl, 6, c, d^ la valeur la plus plausible est encore la moyenne
û -h b -hc -hd
En effet, d'après le principe ci-dessus, on peut remplacer les deux observations a, d par une seule, 5 et
b -f- c les deux observations ft, c par une autre seule, Or la
moyenne entre ces deux nouvelles quantités est
On conçoit aisément que pour un nombre pair a/i d'observations la valeur la plus plausible est la moyenne
c'est-à-dire la somme des quantités observées divisées par
leur nombre.
La même chose a lieu pour un nombre impair in -\- \ de
quantités,
car, d'après les principes ci-dessus, ces in-\-i quantités peuvent être remplacées de (aw-hi) manières par des expressions de cette forme :
2 \ 2rt /
^/ fl + ^ + cH-, ,.+ /(•
et comme il n'y a pas de raison d'adopter Tune plutôt que l'autre, et qu'elles peuvent toutes représenter la valeur cherchée de X, en les sommant on aura [an -+- i) fois cette valeur, et, par conséquent,
1 / 7.nla\
d'où, comme précédemment, *■ *
Ainsi serait justifiée cette règle bien vulgaire et dictée par le seul bon sens, que la valeur la plus plausible de x^ fournie par plusieurs observations, est égale à la moyenne des valeurs observées. En appelant donc o, o', o'', . . . les résultats de n observations, et x la valeur cherchée, on aurait
13. Il nous reste encore à examiner si vraiment la moyenne arithmétique est la valeur qu'il convient le plus d'adopter quand la quantité qu'il s'agit de déterminer est connue par plusieurs observations. Quoiqu'il semble, d'après ce que nous avons dit au commencement de ce chapitre, qu'il ne doive pas y avoir de doute à cet égard, nous ajouterons encore le raisonnement suivant. Si les observations étaient tout à fait exactes, les différences de la valeur cherchée avec les valeurs fournies par les observations seraient nulles. Donc la valeur la plus plausible, à savoir celle qui se rapproche le plus de celte vraie valeur, sera celle dont les différences avec les valeurs observées seront les plus petites. Si cela est, il faudra aussi que la somme de ces différences pri ses en valeur absolue soit la plus petite possible. Pour réaliser cette condition algébriquement, nous dirons que la somme des carrés des erreurs doit être un minimum. Soit donc Q cette valeur la plus plausible, il faudra que
{Q o)2 f- (Q o')2-4-(Q — o")2 4.. ..= minimum.
Mais on a
2(Q — o)»=:/îQ'— 2Q2o4-2:o'=:«fQ 1 -^Zo^—^- i-,
OÙ So* — ' est une quantité donnée. Or le seul moyen
de rendre un minimum le deuxième membre, c'est d'égaler à o le carré (Q ) , qui seul est susceptible de
varier. Cela pose, il viendra
Q = = p; donc la moyenne est bien la valeur la plus plausible.
14. Notons à présent que celte valeur de x peut ou non se confondre avec la vraie valeur de la quantité qu'il s'agit de déterminer. La tension maximum, par exemple, d'une vapeur donnée à un degré donné de température est une quantité certainement fixe, unique. On pourra multiplier les expériences autant que l'on voudra, mais on ne sera jamais assuré que la moyenne représente cette tension. Il est donc de toute importance de pous rendre compte de l'erreur à laquelle on s'expose lorsqu'on substitue la moyenne à la vraie valeur que l'on cherche.
Soit X cette valeur», on aura
et par suite d'où
nX= lo-h 2A,
Appelons ^ la moyenne arithmétique — > et posons
il viendra
Mais comme
nous aurons aussi
