A^ 2AA

Faisons maintenant

qu'on pourra appeller la moyenne des erreurs^ on aura

Mais les erreurs A étant par hypothèse entièrement fortuites, il est évident que sur un grand nombre d'observations elles seront à fort peu près deux à deux égales et de signe contraire, de sorte que les produits AA' seront deux à deux aussi désignes contraires, et la somme S A A' s'annulera.

Il viendra donc simplement

Telle est, avec une grande approximation, Terreur à laquelle on peut s'attendre lorsque, au lieu de la vraie valeur X, on prend la moyenne [l.

Donc V erreur commise dans ce cas est égale à la racine carrée de la somme des carrés des erreurs diuisée par le nombre des obsen^ations.

15. Pour évaluer pratiquement une telle erreur, il serait nécessaire de connaître d'avance les erreurs A, ce qui revient implicitement à admettre comme connue la vraie

valeur de X, que précisément nous ignorons, et qu'il s'agît au contraire de déterminer, au moins avec une approximation suffisante. Voyons, par conséquent, quelle erreur nous commettrons lorsque, au lieu de déduire les A de la vraie valeur de X, on les déduira de sa valeur approchée, c'est -^ à-dire de la moyenne arithmétique des observations. Soient donc 5, ^', $'\ . . , , les écarts ou les différences entre

la valeur approchée de X et chaque observation, on aura

(9) iL = 0-h$, fA=ro'-|-^', fxr=o"--hr,

Mais des équations (i) et (4) on tire

X = fi -f- > = o -4- A , p -h V = o' -4- A', fi -4- X =1 o" -4- A", ... ,

et en remplaçant o, o', o",... par leur valeur (9), il viendra

d'où

2A* = nV -{-i\l$ -h 2^'.

Mais comme jx est la moyenne des observations, on a 2 (J =: o •, et puisque

on aura aussi

nm^ = m^-hlP,

d'où enfin

La valeur de X, que dans ce cas nous appellerons spécialement E, sera alors

Appelons maintenant t ce que devient m dans le cas actuel d'une valeur approchée fji de X ^ ce sera la moyenne

-iodes erreurs ou Veireur moyenne des observations. On aura

par conséquent : i^ Terreur moyenne des obsen^qtions est égale à la racine carrée dé la. somme des carrés des écarts divisée par le nombre des observations moins un^ a° V erreur commise sur la moyenne des observations est égale à P erreur moyenne des obsen^ations dii^isée par la racine carrée du nombre des obsen^ations.

En résumant ce que nous venons d'apprendre, voici la règle pratique pour trouver la valeur la plus plausible pour un système donné d'observations également bonnes.

Soient o, o', o", ... les valeurs fournies par n observations d^une quantité X quil s^agit de déterminer^

Calculez la moyenne arithmétique [1= — > qui sera la

"valeur la plus plausible de X •,

Calculez les écarts entre les valeurs obsen^ées o et la moyenne (ji, cest-à-dire les différences fx — o = 5;

L'erreur à craindre sur chaque obsen^alion sera

y /i — I et Veireur à craindre sur la moyenne [i sera

sjn y/il/i — I)

16. Exemple. — On a observé dans un certain lieu de la terre Fétoile polaire, afin de déterminer la latitude de ce lieu, et Ton a obtenu les résultats suivants (*) :

(*) On calculera facilement les i* avec les Tables à la fin de TOuTrage.