Nous ferons précéder cette étude de trois lemmes
1° La probabilité C d'un événement est le rapport du nombre F des événements favorables à celui P des événements possibles \
Exemple. — H y ^ dans une urne 10 boules blanches et noires y dont 5 noires. Quelle est la probabilité d^extraire une boule blanche?
Cette probabilité sera
2° Lorsqu'un événement T dépend du concours de deux ou de plusieurs événements. Ai, Bi', Cj,..., la probabilité r de T est égale au produit des probabilités a, (3, y des événements partiels*, c'est-à-dire que l'on a
Exemple. — Quelle est la probahili/é d^ extraire de la même urne une blanche et une noire?
La probabilité de la blanche est, comme nous avons vu,
— ; mais après l'avoir extraite, comme il n'en reste plus
que 19, la probabilité de la noire est — • Partant, la probabilité T cherchée sera
— • — = — T5 envH'on -=> 20 19 70 5
3^ Supposons qu'on laisse tomber im fois une pièce de monnaie. La probabilité de faire un certain nombre de fois croix ou tête varie évidemment avec ce nombre, et elle est égale à la probabilité de faire, en lançant ensemble 2 m monnaies, m ziz / fois croix ou tête, / désignant un nombre entier quelconque < m. Soient P^, V^^i les probabilités de faire m ou m -h / fois croix, on aura (*)
(*) Nous donnons cette formule ainsi que les lemmes comme connus, car leur démonstration nous entraînerait trop loin du cadre où nous nous sommes restreints. On en trouvera d'ailleurs les démonstrations dans les divers Traités de Probabiliiés indiqués à la fin de TOuvra^je.
Il est évident que P„,/ = P,,,^.^, car révénement m-+- 1 croix correspond à révénement associé m — / têtes sur une jetée de m-+- l-i- m — /= 2/71 monnaies.
37, Appelons maintenant ç(^) la probabilité d'une ^jrreur dans une série d'observations également bonnes. La probabilité étant égale alors pour des erreurs soit positives, soit négatives, cette fonction sera paire. De plus, eu égard au troisième caractère des erreurs fortuites, elle devra s'annuler par X = 00 , et prendre une valeur constante pour x = o.
Plusieurs fonctions pourraient déjà satisfaire à ces conditions^ mais, pour se faire d'abord une idée de cette fonction, nous pourrons invoquer le deuxième lemme.
Les chances ou erreurs que nous venons d'examiner sont analogues à celles qui se présentent dans le tira la cible.
Cela étant, soit © (a:*), puisque la fonction est paire, la probabilité d'atteindre la cible à une distance horizontales: du centre, f (j*) celle de l'atteindre ^ une distance verticale y du centre, et enfin cp(r*) celle de l'atteindre à une distance radiale r. Comme le point placé à l'extrémité du rayon r est précisément situé a des distances x et y dans les deux sens horizontal et vertical, on peut considérer l'événement (r) comme composé des deux événements (x) et (y). Par suite, selon le deuxième lemme, la fonction devra satisfaire à l'équation
?(^')?(jr')^?('-'), •
sous la condition
On trouve facilement que la fonction propre à satisfaire simultanément aux deux conditions
est
a, b étant deux constantes.
Od a, en effet,
La forme de notre fonction, puisque Ton doit rejeter le signe -f- eu vertu du deuxième lemme, sera donc
OU, ce quLest équivalent,
C et A étant deux constantes.
38. Mais, en ayant recours au troisième lemme, on peut aussi et avec plus de rigueur étudier la nature de cette fonction. En effet, l'erreur que nous considérons étant par sa nature entièrement fortuite, peut être supposée provenir de l'influence de plusieurs causes inconnues superposées, dont chacune agirait dans un sens ou dans un autre pour produire l'effet dz Ax sur le résultat. Car si Tune quelconque de ces causes prévalait, elle tendrait à accroître dans un certain sens Terreur, qui aurait par conséquent, contrairement à rhypothèse, une partie constante. L'apparition d'une erreur peut donc être comparée à la jetée de 2 /n monnaies (/7i étant un nombre entier arbitraire) lesquelles porteraient d'un côté -f- Ax pour croix, de l'autre — Ax pour tète. Si dans la jetée il se présente autant de croix que de têtes, les choses ^e compenseront et l'erreur sera nulle; s'il vient seulement croix ou tête. Terreur sera ± 2m Ax. En général, s'il sort (m-f-/) croix, Terreur sera
[m -h /jAx — [m — l)^x =: 2/Ax.
La probabilité de Tévénemenl (m -f- /) croix est, d'après le troisième lemme,
*«-»-/ ^^— * « ^ • Posons
II vieu
(Ira
Mais hmAx représente une quantité aussi grande que l'on veut, puisque m, pour la fortuite des erreurs, doit être supposé très-grand. Cette quanli té, multipliée par la quantité infiniment petite Ax^ donnera un produit fini, que
nous représenterons par — • On aura donc
P, ziz C^-A",
et, en remplaçant P^^ par ^(jr), on aura comme précédemment
où C est une constante qu^on déterminera tout à Theuie. Voici, en attendant, quelques valeurs de la fonction
-As*«
pou
r le cas
de h
et la courbe représentée par Téquation j = e~^^*'^ sera celle de ^Sifig» 4? asymptotique, comme Ton voit, de l'axe des abscisses.
Fig. 4.
Comme on pouvait s^y attendre, les probabilités de commettre des erreurs représentées par les ordonnées de cette courbe sont d'autant plus grandes que Terreur est plus petite, et elles décroissent rapidement à mesure que l'erreur augmente.
39. Nous pouvons encore retrouver l'expression de y (jc) en suivant une voie tout à fait différente, ce qui confirmera ce que nous venons de dire. Soient o, o', o'!,... les valeursfournies par l'observation d'une inconnue x, qui sera, par exemple, la longueur d'une base, le poids d'un gaz, etc. On aura les équations, que nous supposons en nombre n^
o, .r. zn o', X nn o".
Il s'agit de déduire de ces observations le valeur la plus probable de .r, c'est-à-dire une valeur qui se rapproche le plus de la vérité. Remarquons, à ce sujet, que si la valeur exacte de x nous était connue d'avance, on aurait la certitude d'avoir commis dans les observations les erreurs
Maintenant, si (f (e) exprime la probabilité de commettre dans une observation Terreur e, la probabilité de faire dans les n observations susdites un système d'erreurs tel que le septième (i) serait, en vertu du deuxième lemme,
et comme plus x tend vers sa valeur exacte, plus on acquiert la certitude qu'on a fait les erreurs ci-dessus indiquées» il faudra que la fonction P, par laquelle on exprime la possibilité défaire ces erreurs, devienne d'autant plus grande que X se rapproche plus de cette vraie valeur. Donc la vraie valeur de x sera celle par laquelle la fonction P devient un maximum.
Il faudra donc que, en posant
on ait, d'après des principes connus,
Cela est parfaitement permis. Si, avant défaire les observations, on demandait la probabilité de commettre les erreurs j: — o, X — o', X — o'\.... cette probabilité serait P, et elle serait déterminée , puisque les erreurs nous seraient connues. Mais, après les observations, les erreurs faites ne nous sont pas connues, et, parmi tous les systèmes d'erreurs possibles et de probabilités relatives auxquelles donnera lieu l'adoption d'une valeur pour x, il faudra prendre celui pour lequel la probabilité de les avoir commises sera la plus grande possible 5 alors le système correspondant d'erreurs sera celui qui le plus probablement sera arrivé, et par conséquent la valeur relative de X sera la plus probable, c'est-à-dire la plus voisine de celle pour laquelle les erreurs supposées auraient été certainement commises.
40. Pour déterminer la fonction ^ , nous admettrons que la valeur la plus plausible de x soit donnée par la moyenne des valeurs (o)
comme nous l'avons déjà vu au § III. Supposons maintenant, ce qui nous est permis,
o' z= o" =z o'" =:,..:= o -{- n oLj nous aurons, d'après l'équation (3),
o -{- (n — l) (o -f- nat.] , ,
X r= z=z o -{- [n — lia,
et l'équation (2) deviendra
ou
Cela ayant lieu pour toute valeur de /i, il s'ensuit que
'^ — est une constante. En la désignant par ^, on aura
d'où
X étant une autre constante.
La constante /, d'après ce que nous avons remarqué, doit être négative, aiin que ^ [pc) devienne un maximum pour a:= o. ?ious poserons donc
Pour déterminer Taulre constante, nous observerons qu'on doit avoir (puisque Ton a la certitude de faire une erreur),
ou
par suite
et enfin
e~^" (Ix I ,
ce qui déterminera la constante C.
41 . Jusqu'à présent nous avons vu quelle est la probabilité "^^(x) de commettre une erreur ol = OV {Jig. 5). Mais on pourrait se proposer encore desavoir quelle est la probabilité de faire une erreur comprise entre OQ = — /3 et
OP = a, recherclie qui se présente souvent dans la pratique des observations. A cet effet, remarquons (que,si l'on appelle
Fiç. 5.
cf (x) la probabilité de commettre une erreur .r, celle de commettre une erreur x 4- ^J^ , c'est-à-dire cp (x-hdx), sera
{p ( j?) -h la possibilité de commettre une erreur comprise
entre x et x -^ djc;
par conséquent colle-ci sera
cp (.r -f- ^.r) — cp (j:) = cp {.T)dv = Ce-^''' tir.
Or, d'après le premier lemme, la probabilité de faire une erreur comprise entre a: et ar -j- dx est égale à la possibilité divisée par la somme de toutes les possibilités de toutes les erreurs que l'on peut commettre entre leurs limites extrêmes, que nous supposerons être actuellement OP = a, OP = j3. Cette probabilité sera donc
Pz=r
C^^*'' dx
C I e-^"'dx
Remarquons maintenant que l'intégrale / e""*«*^/x* exprime l'aire QQ'P'P, et que l'intégrale
/ ^-**'' dx = {)fiç
dénote l'aire totale comprise entre la courbe et l'axe des
abscisses, aire qtK esi fiuie. Ces deux aires, par la nature même de la courbe > diil%rent peu entre elles, et on peut subslituerTune à Tautre; cela avec d'autant plus de raison, qu'au delà de certaines limites on peut admettre comme très-improbables les erreurs très-grandes. Par conséquent, au delà des points Q et P, les ordonnées seront très-petites, et Faire correspondante aussi. Donc, sans crainie d'erreur dans les cas pratiques, on peut écrire, au lieu de Texpression de P, la suivante :
r-*''' dx
Ainsi, la probabilité de faire une erreur comprise entre — X et -h ar sera
Si Ton fait X = oo , on aura P = i , ce qui est évident ; car alors on acquiert la certitude de commetire une erreur. L'intégrale susdite, en posant, avec Gauss, /j: = £, prend la forme suivante :
(T'^dx,
42. Cette intégrale est trop importante dans la théorie actuelle comme dans d'autres, pour que nous ne traitions pas son développement en série. On a, en premier lieu, en développant e""*' en série,
en second Heu, si l'on intégre par parties, on trouve
Kt. en procédant de cette manière, il viendra
Ces deux séries sont couvergenles pour \puie valeur de t; mais elles ne sont d'un usage commode que pour de petites valeurs de t.
Pour des grandes valeurs de f, il est préférable de développer par parties, comme il suit.
J 2r ij t'
dt
/ dt\
mais en remarquant que
U)—Ç e-"dtr=:^— Ç e-''dl
et en prenant la dernière série entre les limites / cl oo , il viendra
on-i-i
La somme d'un nombre quelconque de ces termes est allernalivement plus grande et plus petite que la valeur de Tiutégrale. Néanmoins, en arrêtant la série à un terme quelconque, la somme de tous les autres est moindre que ce terme (*). ^însi la série est bien convergente et peut
{*) En effet, cette somme sera représentée par
