ERREUR A CRAINDRE ET MESURES DE PRÉCISION
Soient
plusieurs erreurs qu'on a pu commettre dans une série d'observations, et soient
leurs probabilités respectives.
Il est naturel de chercher quelle est Terreur dans laquelle on a pu tomber le plus facilement. La première idée qui se présente à cet égard serait de prendre la moyenne des erreurs, qui serait exprimée par l'intégrale
( i) / j:ç (.r) dx.
En effet, (p (x) désigne une fraction dont le numérateur représente le nombre des erreurs qui tombent entre x et
mais la plus grande valeur de e-*' entre t et — oo est e~''; donc on a toujours
donc cette somme est toujours plus petite que
^ 1.3.5. . .(2/t — i) tf~''
qui n'est pas autre chose que le dernier terme de la série, auquel on
e-** »*est arrêté, lorsqu'on a exécuté le produit — indiqué dans le second
membre (3).
x-f-û?j:, et le dénominateur le nombre total des erreurs qui se sont commises entre — oo et -f- oo .
Nous nous rappellerons qu'on a substitué les limites ±00 aux limites finies 5 car les probabilités en dehors de ces limites sont très-petites, et leur présence ou omission ne nuit en rien à l'exactitude pratique des résultats. Par conséquent, toute la somme Xf (x) dx est équivalente à une fraction dont le numérateur et le dénominateur expriment respectivement la somme des erreurs et leur nombre. Ainsi cette intégrale représente bien la moyenne cherchée.
Mais cela suppose qu'on a toujours pris les erreurs absolument entre les limites qp 00 , car autrement les termes se détermineraient deux à deux réciproquement par la propriété connue
tI*^) = ?(— •^)-
^ Ainsi cette somme, que nous appellerons fx^est équivalente à
x)dx.
43. Mais, pour éviter une telle restriction et faciliter les calculs, nous emprunterons à l'analyse elle-même le moyen de tenir compte de la valeur absolue des erreurs, en considérant, d'après Gauss, les carrés des erreurs. Ainsi le carré de Terreur à craindre, que nous appellerons m', sera exprimé par l'intégrale
/•H- «5 ATI* =: I X'^<if[x)dx,
qui, par la raison exposée ci-dessus, représente la moyenne des carrés des erreurs. Il est évident qu'on pourra considérer l'observation comme d'autant meilleure que cette moyenne sera plus petite; car la bonté d'une observ^ction ne consiste pas dans le sens selon lequel l'erreur s'écarle de o, mais bien dans sa valeur absolue.
Il est bon maintenant de se faire une idée de la manière
dont Tarie Ferreur à craindre, selon les diverses lois de probabilités que Ton adopte.
Et d*abord, si Ton considère la probabilité typique des erreurs et que Ton pose
on aura
d'où
44. Si, au contraire, la courbe des probabilités dc*s erreurs se réduit aux deux lignes AB, AC {Jfg- 6), et si les
Fig. 6.
erreurs sont comprises entre OC == — a et OB = -4- a, on aura
En effet, Tordonnée^ correspondante à l'erreur x sera
Mais Taire BAC = ab ; par conséquent
possibilité de X y a — .r
Z possibilités BAC a^
En convenant (le prendre toujours x positivement entre O et A et entre A et O, il viendra
' = — I j?'(« — x]ax-\ I jc^ (a -{- x) (ia: = = -pr
d'où
Ainsi dans ce cas Terreur à craindre est proportionnelle à la base du triangle (ce qui est évident) et égale environ h y.
45. Lorsque les erreurs, au lieu de décroître comme dans \di jîg. 5, sont toutes également probables (fig- 7),
Fig. 7.
on trouverait, en raisonnant comme ci -dessus,
et par suite
L'erreur à craindre dans ce cas est plus grande que dans le cas précédent, ce qui doit être évidemment.
46. Supposons encore. que la courbe des probabilités soit un arc de parabole (fig* 8).
En posant OA = «, OC = 5, il viendra
et puisque Taire DCA = - aft,d* après un théorème connu ,
nous aurons
, , 3 y 3 a- — jr' 3 a^ — x'
"^ ^^~~ hâb~ ~h* iî^ ~ 4 ^^^
Fig. 8.
Par conséquent
'' = ïJo
Si Ton avait cherché la moyeuue arithmétique avec la foruiule
5*= / 'tv-^ ^^»
on aurait trouvé, selon la probabilité typique des erreurs,
47. En suivant la même marche pour les autres lois de probabilités et eu comparant les résultats, on formerait le tableau suivant, par lequel on voit que le rapport de la moyenne des carrés des erreurs à la moyenne arithmétique est le plus grand possible lorsqu'on adopte la probabilité typique des erreurs.
v/tt
Ay/â
3fl
A/tt
En examinant l'expression (3), on voit que Ja probabilité de commettre une erreur x est d'autant plus petite que A est plus grand. Par suite h est proportionnel à la précision des observations et peut leur servir de mesure. On appelle par cette raison h la mesure de précision des observations,
48. On peut encore mieux expliquer de la manière suivante ropporlunité de cette dénomination.
Supposons que pour un premier système d'observations on ait /
d[hx)^
et pour un autre P
ces deux intégrales P, P' sont fonction de //j:, partant elles
hx = h' X* ;
seront égales si
d'oiJ
li' ~ X
Par conséquent, si dans le second système d'observations on peut commettre avec une égale facilité une erreur double, triple, etc., de la première, la constante A' relative sera la moitié, le tiers, etc., de h et vice versa. Mais puisqu'une observation doit être considérée comme d^autant plus pré» cise que les erreurs dont elle est susceptible sont moindres, et comme ces erreurs décroissent en raison inverse de /i, il est tout à fait convenable de prendre h pour mesure de précision des observations.
Or nous avons vu que, dans le cas de la loi typiqtie des erreurs, on a
m z=z — -^ d'où h=z — — :•
On peut donc établir ce principe que la mesure de précision est en raison inv^erse de Verreur à craindre et vice %*ersâ; principe qui relie ensemble les deux points de vue différents selon lesquels on peut envisager la question, principe d'ailleurs évident de lui-même, par la nature même des dénominations employées à Texprimer.
Notons en passant que la quantité m que nous appelons erreur à craindre, dans le cas d'observations futures et d'une loi connue des probabilités des erreurs, est représentée par l'erreur moyenne des observations, lorsque les observations ont été déjà faites, et se calculera d'après les principes du § III.
49. Nous examinerons maintenant les relations qui existent entre le poids et la mesure de précision des observations. Si nous appelons, comme plus haut, fx la moyenne de n observations
la probabilité d'avoir commis les erreurs '
p — o, fx — o , f*
If
sera, d'après le deuxième lemme, § VIII, égale à
OU bien, en remarquant que
2(|x — o)» = /ip»— 2aXoH-2o»=:/îU -\ + i-^ ,
et que /ui = — ^
Pour juger de la précision du résultat, il faut voir quelle probabilité P, il y a de commettre une erreur z sur la valeur moyenne fji avant de nouvelles observations.
Nous aurons le droit de croire d^autant plus à la bonté du résultat obtenu que cette probabilité sera plus petite.
Soit donc y z= u.-^ z la vraie valeur de la quantité que Ton cherche, il viendra
P — ___ ^— iiA«»«-5Aî»2(|i— o)A«(|t-o.«
à savoir
P,=iPe-«*'''.
En appelant H = /iy//i la mesure de précision de ce résultat, on obtient
ce qui démontre que, pour d'égales probabilités P de commettre les erreurs fx — o, c'esl-à-dîre à circonstances égales, la probabilité P, est d'autant plus petite que Ay^fi est plus grand, c'est-à-dire que le nombre des observations augmente davantage.
Pour un autre système d'observations, on aura
dont on déduit
Mais, comme nous Tavons vu § IV, les nombres n, n' sont proportionnels aux poids p^ p' des observations; donc on aura encore
Par conséquent, les poids des moyennes sont proportionnels aux carrés de leurs mesures de précision^ et en nous rappelant que celles-ci sont inversement proportionnelles aux erreurs à craindre, nous retomberons sur le principe connu § IV, que les poids sont inversement proprotionnels aux carrés des erreurs à craindre, ce qui confirme et rattache ensemble toutes nos théories.
