Dans le cas de la loi typique des erreurs, on a

J i/tt J—x \/lt t/O

d'après les notations adoptées au § VIII. Posons f=a-, cette intégrale, que nous avons déjà appelée (<), deviendra

0(a) = -Tz 1 e-'Vr.

Rappel on s-nous que Ajc = /, et qu'ainsi lerreurjr eslconl- 1 . « a a . I prise par hypothèse entre — y et -f- t* puisque /// = — p?

elle sera comprise encore entre (6) q= cam ^2.

L'erreur probable sera celle pour laquelle on a

c-^'''dx = l-,

ou bien, en désignant par p la valeur qui rend

celle pour laquelle on a x = y» On trouve

p irz 0,4769363.

Comme on a

il en résulte qu'il y a la probabilité -» c'est-à-dire i

contre i a parier que Terreur est comprise numériquement

entre o el r, ou bien entre o et — r^-^»

h Nous donnerons ici quelques valeurs de qui serviront à faire mieux comprendre la marche de la fonction :

Pour / zzi o , :Î76 = p, on a (^) ziz o ,5 ; /=r 0,595 =rp, 0(r) = o,6;

^=0,782 — p, (^)=ro,7;

rz=:o,906c=p, 0(/) 1=0,7;

/=:I,lOOr=p, (f) =0,8427005;

tz=z I,l63 = p, 0(r)=:o,9;

/=I,82lz=p, 0(rjrr:O,I9;

rrr=:o,3l7=.p, 0(0 = 0,999;

/ = 2,75i ri-p, 0(r) = 0,9999;

t ce r:r p, (^) 11:-- I.

On déduit de ce tableau que, pour les erreurs supérieures à

la probabilité est seulement de

Remarquons que les deux équations hx=zt^ hr = p donnent

et que, par les deux autres

on obtient

(8) rz=p^'2j /7i = 0,6745 w,

où m sera Terreur moyenne dont nous avons parlé, s'il s'agit d'observations faites, ou bien Terreur à craindre sur des observations à faire, dont on suppose connue la probabilité des erreurs.

52. En rassemblant les valeurs déjà trouvées pour /• relativement à m, il viendra pour le cas des Jig. 4? 3? 7

ir=z o,866/w, r = o,7i7w, /• = 0,674^^;

d'où Ton voit que Terreur probable est moindre que Terreur à craindre, ce qui doit être. Pour s'en faire une idée nette, supposons qu'il y ait mille erreurs également possibles distribuées entre o et a, Terreur probable sera évidemment -5 tandis que Terreur moyenne sera bien plus

grande, puisque la somme des erreurs de - k a est plus

forte que celle des erreurs de o à -• C'est pour cela qu'on

a justement appelé cette moyenne Terreur à craindre^ car si, d'un côté, les erreurs au-dessous et au-dessus de la valeur r sont également probables, de Tautre, leurs grandeurs étant différentes, elles n'ont pas la même importance

pour la précision du résultat, et Ton doit craindre plutôt, même à égale probabilité de se tromper, de faire des erreurs grandes que des petites. Cela se verra encore plus clairement si nous supposons, pour un moment, que les erreurs que l'on peut commettre pour une loi donnée de probabilité représentent autant de sommes à payer. Quoique ces sommes aient égale probabilité de sortir au-dessous et au-dessus de la somme r, il est évident que, pour s'en garantir, on devra craindre qu'il ne sorte une somme supérieure à r plutôt qu'une moindre, car au delà de r les sommes, tout en ayant égale probabilité de sortir, sont pourtant plus grandes en valeur absolue.

Remarquons enfin que, des deux équations

et (§ \'II1)

fx - - ■»

on déduit

rzr^ 0,476936 V^TT/x,

Telle sera Terreur probable commise sur la valeur de la moyenne arithmétique.