QQ' =D

d’où Q-f-Q—B-fP* d’oùQQ-Q'=£

B+P» C 2 aA’

En substituant les valeurs de Q et Q' dans la dernière équation auxiliaire, on arrive à l’équation finale

P6 4- 2 BP* + (B* — 4D) P* — C’ = o , équation du sixième degré, mais qui peut se résoudre par la méthode du troisième ; elle est par conséquent embarrassée du cas irréductible quand toutes les racines sont réelles. On appelle cette équation la réduite. La valeur de P étant connue, il n’est pas difficile de déterminer les valeurs des racines de la proposée. Les deux facteurs indéterminés Pat+ Q=o et P'ar-pQ'=o donnent les formules,

pour le ier... x= — iPdbJ// — jP*- —

pour le 2“*... — jP* — iB —

dans lesquelles il suffira de substituer les valeurs de P pour connaître celles de x.

Il semblerait de cette solution que x devrait avoir vingt-quatre valeurs différentes ; car la réduite étant du sixième degré , peut donner six valeurs différentes de P pour chacune des quatre valeurs de x : mais on peut remarquer d'abord que dans la réduite P n’a que trois valeurs différentes qui sont prises chacune avec le double signe ±. On peut voir d’après cela,

«U CALCUL DES INÉQUATIONS. 29 qu’en faisant P négatif dans le premier des deux facteurs, on obtient le second et réciproquement ; les vingt -quatre valeurs de x se réduisent donc d’abord à douze.

Je ne chercherai pas à faire voir comment les différentes valeurs de P ne donnent jamais pour x que les quatre valeurs de l’équation, ni comment on peut reconnaître si les racines sont réelles ou imaginaires. Ces discussions me mèneraient au-delà du but que je me propose.

13. Je ne dirai rien de la résolution des équations numériques ; elle ne présente que des méthodes de tâtonnemens circonscrits par des limites vagues, qui, dans un grand nombre de cas, deviennent incertaines et insuffisantes. Qu’on lise le Traité de la résolution des Equations numériques de Lagrange , on verra que la résolution des équations qui passent le quatrième degré , est absolument impraticable dans un grand nombre de cas par la longueur excessive des calculs qu’elle exige.

14. D’ailleurs ce mode de solution ne peut convenir qu’aux équations qui ne contiennent plus qu’une seule inconnue. Si l’on a deux équations déjà composées à deux inconnues, il faudra avoir recours à la méthode longue et fastidieuse de l’élimination, qui conduira à une équation finale , dont le degré pourra

3o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

être égal au produit des degrés des deux équations. Ainsi je suppose qu’on ait à trouver les valeurs des inconnues * et y, d’après les deux équations

x * + Ax* 4- Bx + C = o

x3 + A'x* + B'x + C'=o dans lesquelles les coëfficiens A , B , C , etc. sont des fonctions de y, y* etjp3 , on aboutira à une équation finale du neuvième degré ; mais déjà la résolution des équations du cinquième degré est inabordable.

Ces deux équations ne peuvent pas plus se résoudre par les formules algébriques , connues des équations du troisième degré, parce que leurs expressions surcomposées sont embarrassées de fonctions imaginaires.

Si l’on avait , pour la résolution des équations du troisième degré et au-delà , des formules algébriques , comme celle que l’on a pour la résolution des équations du deuxième degré > il serait facile de résoudre les équations composantes à deux inconnues séparément , comme on peut le faire pour les équations du deuxième degré ; en considérant une des variables comme une quantité connue, on obtiendrait, à l’aide de ces formules, le cours des valeurs corrélatives des deux variables dans chacune des deux équations composantes ; et

DU CALCUL DES INEQUATIONS. 3* les valeurs corrélatives, qui se trouveraient les mêmes dans les deux équations, détermineraient à la fois les valeurs de x et de y.

C’est-à-dire, qu’on parviendrait aisément à construire la courbe de chacune des deux équations composantes ; et leurs points d’intersection détermineraient les valeurs de x et de y , communes aux deux équations. C’est ce que l’on fait dans le calcul des inéquations.

En considérant l’imperfection des méthodes connues de solution des équations, tant algébriques que numériques ; leur impossibilité de s’étendre au-delà du quatrième degré , et leur inutilité pour la résolution des équations à plusieurs inconnues : ori peut dire que le grand problème de la résolution des équations , ou , plus généralement , que le mode général de la décomposition algébrique est encore à trouver. Ort verra comment on y peut parvenir par le calcul des inéquations.