QUATRIÈME RÈGLE

24. Pour élever à une puissance paire une inéquation dont les deux membres sont négatifs , il faut auparavant l’effectuer en changeant son signe d'inéquation.

DD CALCUL DES INÉQU ATIOKS. 4^

On pourrait objecter contre cette dernière règle, qu’elle peut conduire à des inéquations dont la direction serait fausse , lorsque les quantités que l’on multiplie ou qu’on élève au quarré sont intrinsèquement négatives : par exemple, si l’op avait l’inéquation a<Cb, et que ces deux quantités fussent intrinsèquement négatives , elles seraient comme l’inéquation — 3 < — 2; mais en les élevant au quarré, on aurait a*<Cb* , qui équivaudrait à l’inéquation 9 <4-

Mais il faut observer que le calcul des inéquations ne surcompose point. Jamais il n’élève l’inconnue ou les variables x,y, z, à un degré supérieur à celui qu’elles ont dans l’équation proposée , comme on fait dans les méthodes connues de l’algèbre : toutes les opérations de ce calcul n’appartiennent qu’à la décomposition , et cette règle ne sert qu’à éclairer la théorie d’après laquelle elle s’ opéré.

2ËLr J.e suppose maintenant que j’aye à extraire la racine quarrée de l’inéquation <)>4 : comme les deux membres peuvent être sup-» posés positifs ou négatifs à leur racine , il faudra que l’on ait, d’après la deuxième règle,

3>a et ( — 3)<(— a).

On peut remarquer qu’il n'y a changement de

signe dans la deuxième de ces deux inéquations , que parce que les quantités sont prorogatives. En général, si je veux extraire la racine d ep'<qn, j’aurai

. p<q et (— /»)>(— q).

Donc , si j’aboutis à une inéquation de cette forme il faudra que j ’aye

x <CV a et x>( — Va).

La deuxième de ces deux quasi-valeurs étant pronégative , équivaut à x = — < Va Ces deux quasi-valeurs répondent aux deux valeurs x — V a, x — — Va, que donnerait l’équation x% = a : les deux signes d'inéquation remplacent le signe =.

. Si je suppose maintenant que x soit =y — b , j’aurai

(y—by<a,cïoù

Si j’effectue la deuxième de ces quasi-valeurs avant la transposition, j’auraij^ — b= — <CV a, puis y =b — < V a, d’ôù l’on conclut de même y~>b — Va.

Cela posé , si j’ai à résoudre l’équation

x% — Ax + B>o,

j’aurai d’abord ( * — \ A )‘ > j A* — B , d’où

l)ü CALCUL DES .INÉQUATIONS. 45

j’ai les deux quasi-valeurs

*>ÎA+ V jA1 — B.

ar<7 A — A* — B.

De là résulte cette règle :