CINQUIÈME RÈGLE

26. Le double signe additionnel =fc de la résolution des inéquations du second degré , est toujours accompagné du double signe d’inéquation.

Cette règle est en quelque sorte la base du calcul des inéquations, parce qu’on ramène la résolution des équations de tous les degrés à une seule inconnue ou à plusieurs variables à la résolution des équations du second degré.

27. On peut maintenant rendre raison du résultat contradictoire que l’on obtient en élevant immédiatement au quarré les deux termes de l’inéquation ( — 3) <( — 2) , qui est 9 <4- Cette contradiction vient de ce que les deux quantités dont on compare les quarrés dans cette dernière inéquation , ne sont pas les mêmes que celle qu’on compare dans l’inéquation pronégative ( — 3) < ( — 2). Celle-ci ne peut avoir lieu qu’autant qu’elle est considérée comme v — 3<> — 2 : alors la comparaison tombe sur les différences de v — 3 et de v — 2 , qui sont deux quantités ineffec-r

46 THAÏ TÉ ÉLÉMENTAIRE

tives : au lieu que dans l’inéqualion contradictoire 9 > 4 > elle tombe sur les quarrés des deux nombres effectifs 3 et 2.

28. On distingue deux espèces d’inéquations: i°. Celles qui renferment l'inconnue, et qui servent à déterminer sa quasi - valeur ;

2°. celles qui ne renferment que des quantités toutes connues, et qui sert à exprimer la direction d’inéquation qui résulte de la relation des coefficiens de l’équation , comme par exemple l’inéquation À* — 4® > 0 exprime la direction de la relation des coefficiens de l’équation générale du second degré , x* + A * •+• B =, o. Ces espèces d’inéquations correspondent aux équations identiques ou aux équations de condition qui se présentent dans l’analyse. •

Ces espèces d’inéquations se présentent assez souvent sous cette forme a]> — b, comme ï>( — 2); on peut les appeler inéquations positivo-négatives. Elles ne peuvent pas s’effectuer comme quand les deux membres sont également négatifs — i> — 2. Cette dernière devient par l’effectuation 1 <2- Mais il n’en est pas de même de i>( — 2) , la quantité qui est dans le premier membre se compare dans le second avec une quantité ineffective , qui est le reste de y — 2. En voulant l’effectuer , on aurait encore une inéquation positivo-néga-

tive — x<2 ; les quantités négatives dans ces sortes d'inéquations restent donc pronégatives, à moins que par la nature du rapport que l’on considère, on doive considérer le signe négatif comme étranger à ce rapport.

2g. Pour prouver que l’on ne peut pas avoir l’inéquation i> — 2, on fait cette proportion ,

1 : — 2 :: — a : 4 ; et Ion fait ce raisonnement : si le premier antécédent est plus grand que son conséquent — 2 dans la première raison, il faudra que le second antécédent — 2 soit aussi plus grand que son conséquent; or, la quantité positive 4 donne un second rapport qui serait en contradiction avec le premier, d’où l’on conclut que ces espèces d’inéquations ne peuvent pas avoir lieu , et ne sont , selon l’expression de Carnot , que des symboles algébriques.

Cette difficulté et d’autres de cette espèce proviennent de ce que dans les inéquations positivo-négatives , on ne distingue pas les cas où la quantité est considérée conséquemment à sou signe négatif, et par conséquent comme pronégative , d’avec les cas où le signe négatif est étranger au rapport d’inéquation que l’on considère, et où par conséquent la quantité est métanégative. Pour apprendre à les distin* guer , il est nécessaire d’analyser la nature du

rapport d’inéquation , et de déterminer comment les différens signes algébriques gouvernent les quantités négatives.

3o. Les différens rapports sous lesquels on considère les quantités naissent du principe de leur formation, et en remontant jusques-là, j'observe que la formation des nombres , et en général des quantités, se ramène à ces deux modes de composition, 1 addition et la multiplication ,* et leur décomposition aux deux modes correspondans , la soustraction et la division ou la démultiplication. L’addition et la soustraction appartiennent généralement au mode additionnel. La multiplication et la démultiplication au mode multiple. Ces deux modes sont en quelque sorte les deux pivots sur lesquels roulent toutes les opérations des mathématiques.

C’est d’après ees deux modes généraux que se déterminent les rapports des quantités. De là le rapport que j’appelle additionnel et le rapport que j’appelle multiple , comme le désigne leur expression algébrique, qui, pour le premier, est a:adLd, etpour le second, a:aq. Cette dénomination exprime la nature de ces rapports, ou le principe d’où ils émanent. De là on a les proportions additionnelles et les proportions multiples. (Le mot proportion dé-

DU CALCUL DES 1NÉQU ATIOW S. 49

signe égalité de rapport. ) De là on a encore les progressions additionnelles et les progressions multiples.

3l. Cela posé, je considère les deux progressions décroissantes, la première additionnelle, et la deuxième multiple.

4, 3, 2 , x, o, — ■ x , 2 , ■ — — 3 , “ 4 , etcj

iG, 8, 4)2,i, !» i> î> iî, etc.

Tous les termes de la première suite jusqu’à o , sont des restes de soustractions effectuées. Si l’on considère que les termes qui suivent o , continuent à décroître d’après le même mode , ou si l’on considère que la progression additionnelle continue après o, il faut nécessairement que l’on suppose une quantité ineffective de laquelle on continue à soustraire, autrement la continuation de la progression serait absurde. Par conséquent les termes qui suivent zéro, sont pronégatifs, leur valeur est ineffective, et ils équivalent à v — i, v — 2 , v — 3 , etc.

Il est clair maintenant que chaque terme de ces deux suites est toujours plus grand que celui qui le suit ; on a donc également

4>3 j>2> i >o>( — i )X — 2)>( — — .4) , etc .

i6>8>4>3>i> I > i i , etc.

Mais le rapport d'inéquation des termes de la

première suite n’est pas le même que celui des termes de la seconde , quoiqu’il soit exprimé en algèbre par le même signe > , et en français par le mot plus grand. Le premier appartient au mode additionnel , et le second , au mode multiple.

Des rapports d’inéquation additionnels et multiples.

32. Il faut distinguer donc deux rapports d’inéquation; savoir :i°.le rapport d’inéquation additionnel; 2°. le rapport d’inéquation multiple. Ainsi l’inéquation additionnelle a>6 équivaut à a—b+z; l’inéquation multiple p^>q équivaut à p — q'X.z. Dans le calcul des inéquations, c’est toujours le rapport additionnel que l’on considère. Ainsi l’inéquation x <a équivaut à x—a — z, z est une inconnue qu’on n’exprime pas dans lé calcul des inéquations , et qu’on vient néanmoins à bout de faire disparaître , et l’on a alors la valeur de la racine.

Cette différence d’inéquation s’exprime dans le langage quand on fait mention de la valeur de l’inéquation. Ainsi l’on dit 12 plus grand que 3 , sans spécifier la nature de ce rapport ; mais l’on dit 12 plus grand que 3 de neuf, pour exprimer le rapport d’inéquation additionnel ,

et 12 quatre fois plus grand que 3, pour exprimer le rapport d'inéquation multiple.

Maintenant si je compare i avec — 2 , et que je considère en même temps que le signe gouverne la quantité 1 avaht le signe d’ihéquation \ il s’ensuivra que je comparerai la première quantité avec la deuxième , en véftu d’une soustraction que le signe — indique; il s’ensuivra que l’inéquation i>-( — 2) est additionnelle : mais si je veux la considérer dans le rapport multiple , ce nouveau rapport étant étranger au signe soustractif — - qui précède la quantité — 2 , il faudra que je la considère comme métanégative, et j’aurai i< — >(2). Dans ce cas, l’inéquation étant en conséquence du rapport multiple, son signe doit gouverner immédiatement les quantités 1 et 2 , et ce n'est qu’après qu’on doit considérer le signe — de la quantité 2.

Dans le rapport d’inéquation additionnel 1 est plus grand que ( — 2) de trois. Dans le rapport d’inéquation multiple 1 est plus petit que — (2), il n’en est que la moitié.

53. Je viens maintenant à la proportion cidessus (45) 1 : — 2 :: — 2 : 4 , d’aplès laquelle on prétend prouver que l’on 11’a pas r> — 2. Ou bien cette inéquation appartient au mode additionnel , ou bien elle appartient au mode

multiple : dans le premier cas, le rapport de i à — 2 étant additionnel, ne peut se comparer pour faire une proportion qu’à un autre rapport additionnel qui lui soit égal. J’aurai donc la proportion additionnelle i.( — a:( — a).( — 5). Dans ce cas, j’ai i >( — a) comme ( — a)>( — 5) ; ainsi il n’y a pas de difficulté.

Si l’inéquation i > — a appartient au mode multiple, le second membre sera métanégatif, et l’on aura alors i< — (a) comme — (a)<4- Le signe — ne gouverne alors la quantité a qu’après la considération du rapport d’inéquation.

34. Pour rendre sensible ce que je viens de dire par des exemples, je l’applique au problème des joueurs ci-dessus (37). Si je compare les gains et les pertes sous le rapport multiple, je dirai : i°. Le gain du premier = (24) est plus grand que le gain du second =(ia); a°. la perte du troisième — — (2) est plus petite que la perte du quatrième = — (6); 3°. le gain du premier est plus grand que la perte du dernier ; 4°- Ie gain du second est double de la perte du dernier, etc.

Dans toutes ces expressions , les mots plus grand, plus petit , ne tombent que sur des nombres abstraits , indépendamment de la relation de perte au gain, ou indépendamment

DU CALCUt DES INÉQUATIONS. 53 des signes + ou — qui expriment cette relation , et qui ne se considèrent qu’ après le rapport d’inéquation.

Mais si je veux que le rapport d’inéquation soit conséquent à la relation de la perte au gain , ou aux signes additionnels 4- et — , il faudra que j’employe d’autres expressions. Je dirai , par exemple , ce qui reste au troisième joueur ( — 2) est plus grand que ce qui resté au quatrième =(— 6) ou ( — a)>( — 6), et ainsi des autres.

Quand je compare alors le plus grand gain avec la plus grande perte , sous ce rapport d’inéquation , j’ai l’inéquation additionnelle a4>( — 6), qui équivaut à l’équation 24 = — 6 + z. Si je considère la même inéquation dans le mode multiple, le signe > tombant alors directement sur le nombre 6, l’inéquation 24 > — (6) signifierait que a4 est plus grand que 6, un certain nombre de fois ; elle équivaudrait à l’inéquation 24 = — (6) x z. Dans ce cas-ci z serait = 4- On voit évidemment que ces deux rapports ne sont pas les mêmes, et qu’ils ne doivent pas être confondus : et l’on voit , en même temps , que c’est sons ce dernier rapport qu’on doit considérer l’inéquation 1 > — 2 dans la proportion cidessus.

54 TRAITS ÉLÉM1Î1ÎTAIRK

Pareillement , ou démontre en géométrie que la perpendiculaire , abaissée sur le diamètre du cercle , est moyènne proportionnelle entre les deux segmens. Ce théorème s’applique indifféremment aux deux perpendiculaires , menées d’un même point du diamètre à la circonférence ; ou à chacune des .deux ordonnées, appartenant au même point: cependant l’une de ces coordonnées est négative par rapport à l’autre : et, par rapport à cette dernière, on peut faire une proportion qui a la même forme que celle de i : — a : : — a : 4 > qiais dans la synthèse on ne considère point la qualité négative dans ce rapport multiple.

Par le résultat de l’analyse , on aboutit à l’équation y == ifc )/ al-r^x\ la deuxième valeur est d’abord immédiatement pronégative; mais si l'on veut la traduire en une proportion tnultiple , on l’effectue , en considérant sa propriété d’être négative, comme une qualité dont pn fait abstraction pour le rapport que l’qn veut considérer ; et on fait jdors la proportion comme on la fait quand qn commence par la synthèse.

H faut considérer que les résultats de l'analyse donnent généralement tous les points de vue sous lesquels on peut considérer l'inconnue ; mais dans la synthèse on ne coosi-

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 55 dère qu’un seul rapport à la fois. Dans cet exemple, quand on considère la double ordonnée au cercle, sous le point de vue qu’elle est moyenne proportionnelle entre les deux segmens faits sur le diamètre , on n’a pas égard si elle est prise positivement ou négativement ; et quand on s’occupe de ce dernier point de vue, on ne s’occupe pas de l’autre.

En général, dans la synthèse on ne considère que successivement les différentes relations , dont les quantités sont susceptibles ; et les résultats de l’analyse présentent, à la fois, ces différentes relations.