Je reprends la série additionnelle cidessus (3i

•• •4>3>2>i>o>— i>2>3> — 4 etc.

qui ne continue de décroître au-delà de zéro, que parce que les termes qui suivent sont pronégatifs , et que le signe d’inéquation tombe sur le reste ineffectif d’une soustraction indiquée.

Si l’on veut, maintenant, que la série ne soit composée que de termes effectifs , il faudra nécessairement qu’elle s’arrête à zéro.; les termes qui suivent seront inétanégatifs ; leur signe d’inéquation changera d’après la première règle : il en résultera une autre série

qui sera la même qtie la première » à l’exception qu’elle sera croissante, en faisant abstraction du signe — - ;• ainsi elle se partagera en su i tes opposées , , .

• . • 4>3>a>i >o<— ( iX— (2)<--(3)<— (4) etc.

ou bien (20). ..o — <1 — <2 — <3— «<4 etc.

56. Supposons , maintenant , que l’on divise une . quantité quelconque , a ;qu l’unité par la série additionnelle ci-dessus ,, prolongée au-delà de zéro ; f n la considérât ; toujours décroissante aurdelà de ce; terme* des quotiens iront donc toujours en croissant : on aura donc

* ' ■4<3<i<ï<o<(-.)<(-2)<(-^3) fc'C- Dans cette série, la. première partie jusqu'à

- ne faitpas de difficulté ; njaisen cpntinuantla

série au-delà, il en résulte une absurdité ; car

en comparant - avec , on a d’une part

- < ; ce qui, s accorde avec ce que 1 on

a dit ci-dessus ; car on tire de là — 2 <1 »

Mais si au lieu de 7 ■■ ~v on prend ex-

~ Ml 1 " . (r— 2) • i 2

pression qui se confond avec la première dans

le stile algébrique , j’aurai £ < — ce qui est absurde et contradictoire avec — 2 < i .

s Pour résoudre cette difficulté, il faut considérer que la première partie , composée de quantités positives f, f etc. , est une série qui appartient au système multiple; c’est une suite de quotiens que l’on compare et non une suite de différence ; or une série multiple ne passe jamais de positif à négatif : c’est Popération soustractive qui appartient au mode additionnel qui fait passer de l’une à l’autre, ïe prends , pour exemple , la série la plus simple, appartenant au mode multiple,

n, • . 16» b, 4 > 2 > } > I 4> ï Ti e^c.

Elle a pour limite dans la direction décroissante o, à laquelle elle ne peut pas parvenir , et pour limite opposée ji Toutes les séries multiples ne diffèrent dé celle-là que parce que les numérateurs et les dénominateurs suivent des lois différentes : d’où résulte une suite de quotiens. qui forment , par leur nature, une série dans l’ordre multiple ; et leur rapport d’inéquation n’appartient également qu’à l’ordre multiple.

, Par conséquent , la série ci-dessus se termine àla limite et les termes qui suivent appartiennent à une autre série prise dans un sens

opposé ; c’est-à-dire , que la série des dénominateurs est métanégative, et, par conséquent, en considérant les termes qui sont au - delà de j sous le rapport d’inéquation , ils doivent être considérés comme métunégatifs. Par conséquent , la série ci-dessus se partage en deux , au terme où les dénominateurs commencent à devenir négatifs , et l’on a ,

KKf<î<;>H;)>-(})>-(T)>-(ï) etc-

On peut observer, i°. que la série ci-dessus ne conservait la même direction d’inéquation , dans son prolongement au-delà du terme j que parce qu’elle équivaut à celle-ci.

Dans cette considération les termes où se trouve le signe — , en supposant v — o, ne sont pas 7,77 etc. pris ensuite négativement ; dans ce cas l’action du signe de la division ne tombe que sur les différences y — 2,r — 3etc^ et non pas sur les nombres 2,3, etc. Ce n’est que par leur effectuation qu’on fait tomber son action immédiatement sur ces nombres ; ce n’est donc qu’en les rendant métaqégatifs. Il faut donc que le signe d’inéquation change , et il eq résulte une autre série semblable à la première ; mais qui croît dans un sens opposé.

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 5g

67. On peut observer en second lieu, que la limite de la première de ees deux séries ; est immédiatement çonÿguë à la limite — (j) de la. série suivante qui lui est opposée. On voit alors que les deux extrêmes se touchent , ce qui doit être. Il en est de même des deux tangentes qui ne diffèrent que d’une quantité infiniment petite de la tangente de l’angle droit, l’une en-deçà, l’autre au-delà ; la première est un infiniment grand positif, et la seconde, un infiniment grand négatif. L’expression de la

, sin. a . ,

tangente étant , est pour la première - ,

cos. a

et pour la seconde — — ^ ou — \\ la tangente effective qui suit immédiatement celle \ , est cene(|).

Oq voit maintenant la solution de la difficulté dont il s’agit : la série devant s’arrêter à la limite j, on n’a pas mais l’on a

; > — (î) > d’où — (a) > 1 , alors on ne peut plus se servir de l’inéquation 6 — -a <fi,+ 1 pour prouver le contraire ou o — a<o + 1 ; car dans ce dernier cas, le signe d’inéquation ne gouverne pas 2 , mais la différence o — 2 ; au lieu que dans — (a)>i » il tombe directement sur les deux quantités a et 1 .

Des logarithmes des quantités négatives*

38. La distinction des quantités pronégatives et métanégatives, donne aussi la solution de la difficulté que présentent les logarithmes des quantités négatives.

Le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle il a fallu élever un nombre fixe , qu’on appelle base logarithmique , pour qu’il en résulte le nombre proposé. Ainsi dans l’équation cx=y , x désigne le logarithme dey ; et l’on a également x = Ly. L’expression 10 z~y est celle des logarithmes des tables , parce qu’on a pris pour base le nombre 10."

Si j’aboutis à une équation quelconquè a*=b , pour la soumettre au calcul logarithmique , je considère a comme une base logarithmique particulière à cette équation ; je la ramène à la base générale en faisant iox~b , d’où l’on a a*= ior; puis La*=Liox, d’ou x =zLa; puis l’équation ioI=ù donne z=Lù, L b

d’où z= — . Par cette operation, on exprime

z ou le logarithme , qui a pour base particulière la quantité a en logarithmes, qui ont pour base la base générale i o.

Ainsi , on ramène par ce moyen toutes les

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 6l quantités exponentielles à l’expression io'= n, on plus généralement Bz=y, en appelant B la base quelconque que l’on adopte pour y ramener toutes les autres particulières.

Maintenant que si gnifie l’expression x =L— a? elle naît de l’équation Bx= — a. Or, si l’on considère que la quantité négative — a est le résultat de Bx, et que l’on a B* = ( — a) , cette e'qua'tion est absurde. Il est impossible que la base B , qui de sa nature est positive , ou plutôt qui n’est ni négative ni positive, parce que ce n’est pas sous cette relation qu’on la considère ; il est impossible , dis-je , que cette base élevée à une puissance * quelconque , puisse donner un résultat négatif en conséquence de cette puissance , ou un résultat pronégatif ( — a), d’où l’on conclut que le logarithme d’une quantité pronégative L( — a) est une quantité imaginaire ou impossible.

3g. Au lieu de tirer cette conséquence, je considère que la relation de négatif à positif est étrangère au principe de la création des logarithmes , et j’en conclus que dans l'équation Bx = — a le signe négatif qui précède a est étranger au résultat que peut donner B*, et que par conséquent la quantité — a est métanégative , d’où l’on a x—L — (à) , et non pas a? = L( — a) ; c’est-à-dire que le signe loga-

TH A. ITJÎ ÉLÉMENTAIRE

rithmiqtieLgouverne immédiatement la quantité a indépendamment de son signe négatif, comme dans le rapport multiple 1 : — (2). Le signe : qui exprime le rapport multiple, agit immédiatement sur le nombre 2 indépendamment de son signe.

Pour développer cette conséquence , je considère d’abord qu’une quantité exponentielle quelconque, comme a1— b , peut avoir lieu avec a intrinsèquement négatif, comme ( — 2)4— 16; je puis encore avoir ( — 2)3=s — 8, etc. Or, par cela même, que je ramène toutes ces bases logarithmiques particulières négatives ou positives à la base générale Iîx, qui est positive, ou plutôt qui est étrangère à la relation de positif à négatif, il est nécessaire que je fasse abstraction du signe négatif de ces bases particulières, ou que je ne le considère qu’après. Je ne puis considérer les deux quantités exponentielles Bx = az que par ce qui leur est commun ; il faut donc que je fasse abstraction du signe négatif de la base particulière, il est donc en général de la nature des logarithmes de faire abstraction du signe négatif de toutes les bases particulières que l’on ramène à la base générale.

4o. C’est aussi de cette manière qu’on considère les logarithmes dans les différentes opé-

rations du calcul. Je suppose d’abord x*==a' , j’ai de là Lar=La; je devrais avoir Lx==L=ba. Car si j’extrayais auparavant la racine , j’aurais d’abord jc = ± a, puis Lx —L=i=a. En second lieu, si j’ai x% — — a*, la valeur est imaginaire, et j’ai Lx = L — a. Mais si j’ai x3= — a3, j’aboutirai de même à La; =L — a , quoique la valeur de x soit réelle ; cette difficulté n’aura pas lieu en faisant La; — L — (o). On a d’abord le logarithme de l’inconnue indépendamment de son signe , et c’est tout ce que peut et doit exprimer un logarithme.

Je suppose à présent la base connue. Si j’ai par exemple ( — a)x = b, en donnant d’abord différentes valeurs à x , j’aurai ( — 2)' = — 2, ( — a)‘=4, (— a)3 = — 8, (— 2)‘ = i6, etc. En traitant cette équation par les logarithmes,

j’aurai x —

qui donnerait pour tous

ces cas une valeur imaginaire pour x, si l’on avait égard au signe négatif de la base, tandis qu’elle serait paire pour tous les cas où x serait un nombre pair. Que serait-elle pour tous les cas où x serait un nombre incommensurable?

Il est donc essentiel que le signe négatif soit étranger à la considération logarithmique.

4l. En Outre, si j’ai Br = — a , j’aurai x=sh — o; mais en élevant les deux membres

64 TRAITÉ J*LÉM£HTAIRR

au quatre, on a B lZ=a%, d’où x = L a. Ainsi L a — L — a, ce qui est vrai, parce que le signe logarithmique L ne gouverne absolument que la quantité a indépendamment de son signe , et l’on a Lo = L — (a). C’est ainsi que le rapport multiple i : — (2) est le même que 1 : 2.

42. Il faut bien distinguer la considération des puissances d’avec celle des logarithmes. Quand j’aboutis à l’équation xn = — b , si la considérant comme puissance, je veux en avoir

la racine, j’ai x = \/ — b-, le signe du radical affecte directement la quantité en conséquence de son signe, parce que l’élévation de la puissance est formée de même , et il faut que dans

cette équation x — V — b , l’inconnue x représente en nombre et en signe la même quantité qui est dans l’autre membre. Toutes les fois que cela ne se peut , comme dans les puissances paires, on en conclut que la racine est

imaginaire.

Mais si je ramènè l’équation az=b à la con-

sidération logarithmique x

L b La’

la valeur x

ne peut représenter que le nombre de fois que a est multiple, pour qu’d en résulte la quantité b indépendamment du signe additionnel de a et de 6, parce qu’on ramène cette base a à une

autre étrangère , à la considération de négatif à positif.

43. Podr éclaircir cette théorie, il est nécessaire d’exposer ici la démonstration par laquelle on fait voir que les logarithmes des quantités négatives sont imaginaires ; on verra comment cette difficulté s’évanouit, ou plutôt comment cette démonstration se concilie avec ce que l’on vient de dire.

On a, d’après Euler, la série suivante :

■J-, etc.

= cos. * + y'— i sin. * , d’où... — 1 =L(cos. z + V — isin.z).

En appelant <a la demi-circonférence , si l’on fait z = (a k 4- i ) -a- , k étant un nombre entier quelconque , on aura pour toutes les valeurs de k sin. z = o, cos. z = — i. Donc (2 k+ i)i?i/ — r =L — 1 . Ainsi le logarithme de — 1 a une infinité de valeurs toutes imaginaires.

D’après cette démonstration , il suit encore que les logarithmes des quantités positives ont aussi une infinité de valeurs dont une seule est réelle. En effet, supposons que z = 2j&*-. La formule z \/—i=L(cos.z+ \Z~— isin.z) donnera pour toutes les valeurs de k,2kv\/ — i=Li, la seule valeur réelle qu’on obtiendra pour Lx

sera en faisant k=o. Toutes les autres valeurs de h donneront pour Li des expressions imaginaires, et il pourra y en avoir une infinité.

Pour faire voir ou aboutit cette démonstration , au lieu de donner à z la valeur <* de la demi-circonférence , multipliée successivement par les nombres o, i , 3 , 5 , 7 , etc. je lui donne la valeur q du quadrant multipliée successivement par les mêmes nombres o , 1 , a ,

3,4» 5 î etc*

La formule ^ 0 “

B*'— . —cobz+V^ sins *)

f'Qo-jy—1..— f o.q\/ — i...=1jX

iQI .4/ — I \/ 1. .....

jÿnv':=r.„= — \agy/— i-.—T— 1

D3fr''=T,.== — \/~i . . d 'oixJZqV — 1 —=L — }/ — A

gi?'' — * ...=V — — 1...— LV — 1

etc. U*«-

Maintenant, en ne considérant que les valeurs de cos z , qui est la partie rationnelle de L(cos z+ V-—1 sin s), lorsque l’arc du premier quadrant ne vaut encore que zéro, le cosinus j f puis, décroît et devient zéro lorsque z vaut le premier quadrant tout entier ; il continue de décroître à proportion que l’arc croît au-delà du premier quadrant ; enfin ce eosi-

DU CAL CU U DES INÉQUATIONS. 67 nus = — i quand z acquiert la valeur de deux quadraus.

Si j’imagine cette suite de décroissemens, compose's de dixièmes ; elle formera la série additionnelle

qui correspond à l’accroissement successif de l’arc depuis zéro jusqu’à deux quadrans ; or , pour cela même , que l’on continue de faire croître , dans la même direction , la valeur de z après qu’elle a acquis celle du premier quadrant, qui correspond à .cosinus = o ; il s’ensuit que les valeurs correspondantes du cosinus doivent continuer de décroître dans la même direction , après le terme zéro ; c’est-à-dire , que ses valeurs doivent être pronégatives.

Il s’ensuit , d’après cette considération que l’on a = ( — i)et2ÿl/ — i=L( — r).

C’est-à-dire , que les logarithmes des quantités précédées du signe — sont des logarithmes de quantités pronégatives, et, sous ce point de vue, ils sont imaginaires.

45. Mais maintenant si l’on considère les valeurs négatives des cosinus comme métane'gatives, la suite de ces décroissemens s’arrêtera à zéro (36) ; puis c’est la même série qui commence à croître au lieu de décroître , ou qui a une direction d’accroissement contraire à la

première. Par une conséquence nécessaire, l’accroissement de l’arc s’arrête aussi au premier quadrant : ce sera ensuite le second quadrant, et non pas le même arc , continuant de croître au-delà du premier ; ce sera , dis- je, le second quadrant tout seul , qui , commençant par sa valeur toute entière q , décroîtra jusqu’à zéro, tandis que les valeurs métanégatives correspondantes du cosinus croîtront depuis o jusqu’à — (i), ou jusqu’à i métanégatif. Le troisième quadrant commencera par o.q , et croîtra jusqu'à q, tandis que le rayon métanégatif décroîtra depuis — (i) jusqu’à zéro, lequel terme correspond au degré q du troisième quadrant. Il en sera de même du quatrième. Ce que je dis du cosinus, s’applique aux valeurs du sinus affectées de l’expression imaginaire l/-i.

J’ai donc , en reprenant la formule ,

BtV/— 1 =cos,z-{-t/ — isin.z qu.dr. + »-

■qoadrVj:^ » + ^~