quadrj^^ i

d’où zV'

o.qV —

îV/—

qV — O.qV—1- O.qV— qV— ?v/— °-qV—

= L(cos. z+V — i si il. z, =L i

=LV/i,

"=lj — V — 1 1

Li = o.

f o.gy/— i=L — (Q.. -

| qV — l~L — 1 !

f gt/~-

1 O.qÿ—l-.

DU CAIiOTJI. DES INEQUATIONS. 69

On voit qu’en ramenant les résultats négatifs de B*^-* aux quantités métanégatives, toutes les quantités qui peuvent résulter de cette expression sont en partie réelles et eu partie imaginaires, et qu’elles sont entre les limites st(i) et db )/ — 1. Alors on n’a plus pour Li une infinité de valeurs outre sa valeur =o, alors L — i n’est pas imaginaire. C’est L — (ij qui est la même chose que L i , parce que le signe — n’est considéré qu’ après la relation logarithmique.

46. Or, maintenant, en exprimant la suite des valeurs de la quantité exponentielle en fonctions de valeurs trigonométriquès , ces valeurs quand elles sont négatives doivent être métanégatives. Les cosinus du second et du troisième quadrant , les sinus du troisième et du quatrième, etc. sont effectifs dans le cercle ; ils sont donc métanégatifs , et leur direction en sens contraire des cosinus et des sinus des autres quadrans exprime leur quantité métanégative. Ainsi au lieu de dire sin. a, sin.(i?+o), sin. (2*+ a), etc. il faut dire sin. ( a du premier quadrant), sin. (a du second quadrant). On peut leur donner la notation sin. at ou sin. a simplement, puis sin.cr,, sin. a,, etc. cos. a, cos. a» , cos. a, , etc. les chiffres 2,3, etc. désignent dans quel quadrant l’arc est pris.

Donc dans cette démonstration il n’est question que de quantités métanégatives , d’autant plus d’ailleurs qu'on ne s’occupe que des quantités métanégatives dans l’ordre multiple; donc dans la progression successive des valeurs que l’on donne à l’exposant de B*v^r* , il faut s’arrêter à de la même manière que dans la

série multiple.

4 » T » » > > O — I — i — I — ♦ eu"

On s’arrête au terme £ , où la progression des dénominateurs passe du positif au négatif, pour recommencer la même suite, vue en sens contraire.

On ne peut donc pas démontrer , par le raisonnement ci-dessus, que les logarithmes des quantités négatives est imaginaire.Et la longue discussion, qui a eu lieu sur cette question, vient de ce qu’on a fait usage des quantités pronégatives et métanégatives , indifféremment et sans les distinguer comme il est nécessaire de le faire.

Les logarithmes hyperboliques sont conformes à la théorie qu’on vient de développer , parce que les quantités négatives , qui s’y trouvent , sont de leur nature métanégatives.

47. En général , toutes les valeurs géométriques qui s’expriment par une direction con-

traire à celles des quantités positives, sont de leur nature métanégatives, parce qu elles sont effectives.

Si j’ai à retrancher la ligne CB de la ligne AB

je pourrais, après avoir posé la ligne AB=a, retrancher de cette longueur la ligne AC '—b, ou bien , en partant de l’extrémité , retrancher également CB = b , il me resterait dans le premier C'B , et dans le deuxième AC, qui ont la même valeur ; mais dans le premier cas la soustraction est vicieuse , parce que 1 on change l’origine des valeurs qui se trouve après la soustraction transportée en C'. Il est donc nécessaire, par la nature de la soustraction géométrique , que l’on fasse partir la quantité négative de l’extrémité B , et qu’on lui donne une direction d’accroissement , contraire à la direction positive : par cette disposition la soustraction est effectuée.

Si la ligne CB , à retrancher , est plus grande que la ligne positive AB , il sera nécessaire qu’elle continue sa direction en deçà du point A vers D. De sorte que, si l’on a a — b= — c, la quantité négative ■ — (c) sera exprimée par la ligne AD , ayant une direction contraire à la positive : elle sera effective , elle sera donc

métanégative. Pour avoir une quantité pronégative, qui eût par conséquent la même direction que la ligne AB , il faudrait remonter l’origne vers un point ineffectif F, on aurait FÀ = f, et la quantité ( — c) = v — c serait FA— AD = FD, quantité ineffective.