CHAPITRE III

De la résolution des équations algébriques du troisième degré.

4cf. Les formules que l’on obtient pour la résolution des équations sont assez simples; mais comme je me propose , dans ce chapitre , de développer la théorie du calcul des inéquations , il est nécessaire d’entrer dans certains détails inutiles pour la résolution pratique des équations , et néanmoins indispensables pour éclairer cette théorie. Ce chapitre contient deux modes de solution , le premier est , à proprement parler j purement théorique ; il sert de base au deuxième mode : ce dernier s’applique généralement à tous les cas. Je l’appellerai mode de solution double , et le premier mode de solution simple : on verra les raisons de cette dénomination.

PREMIÈRE SECTION

P remier mode de solution , ou mode de solution simple.

Ce premier mode de solution renferme deux méthodes qui conduisent, l’une et l’autre, à la valeur de la plus petite racine de l’équation par deux directions opposées. Il est nécessaire de développer ces deux méthodes successivement, avant de traiter le mode de solution double.

Première méthode de solution simple.

5o. Soit proposé de résoudre l’équation générale du second degré

J’imagine cette équation formée par le produit des deux facteurs

(a; +p) (**■+• Px+ q)~o.

En les multipliant et comparant le résultat à la proposée, j’ai d’abord

x3 -f- Pat* + Q x

+ px% + pVx + pQ

d’où j’obtiens les trois équations auxiliaires

■ A = P + p B = Q + P p, . C = Qp.

Si je me bornais à chercher arec ces trois équations la valeur d’une des indéterminées P, Q, p y j’arriverais à une équation d’un degré égal à celui de la proposée , et j’aurais pour la valeur dep,

p 3 — Ap* + Bp — C = o.

En général , de quelque manière que l’on décompose et que l’on recompose des équations avec des coëfficiens indéterminés quelconques, si l’on n’emploie pour les déterminer que la méthode des équations, on obtiendra toujours un résultat qui sera au moins aussi composé que l’équation proposée.

Mais j’observe qu’en résolvant le facteur x* 4- Pæ + Q = o, les deux valeurs que j 'obtiens , * = — ip^v/jP* — Q, sont composées de deux parties : la première rationnelle = — { P, c’est la seule qui a lieu quand les deux racines sont égales. De sorte que la partie irrationnelle — Q est ce

qui constitue l’inégalité des deux racines.

Si pour trouver la valeur de cette partie irrationnelle, je fais j P* — Q = z, selon la méthode des équations, j’aboutirais encore à une équation en z du troisième degré. Au lieu de faire une nouvelle équation, j’exprimerai cette inconnue sous le rapport de sa limite , et je ferai IP* — Q>o,d’oùQ<^P*.

qL'i'ion ** 1 • C’est ce que j’appelle inéquation ; elle exprime une quasi -valeur.. Cette expression équivaut à l’équation Q = -t* — z. L’inconnue z est la latitude de la quasi-valeur. Cette espèce d’inconnue ne s’exprime point dans le calcul des inéquations, mais on parvient néanmoins à la faire disparaître , et alors l’équation est résolue. Ainsi le signe d’égalité entre deux expressions n’est pas l’instrument dont on se sert pour arriver à la valeur que l’on cherche, comme dans la méthode des équations , l’égalité est le terme où l’on aboutit. Cela posé,

de l’équation auxiliaire Q = B — P py et de l’inéquation. . . . Q<;P*,

on parvient à l’inéquation du second degré

P%~ jAp + — -3— <0,

d’où l’on extrait d’abord la double quasi-valeur

p<y(AdhaV/A* — 3B ).

Mais maintenant, d’après la cinquième règle (a6) , le signe d’inéquation doit changer avec le signe additionnel du radical. On a donc les deux quasi-valeurs

J’observe maintenant que la première de ces deux quasi-valeurs étant plus grande que p , est plus grande qu’aucune des valeurs dont p est susceptible ; elle est donc plus grande que la plus grande racine de la proposée ; mais il est évident qu’elle en approche de plus près que des deux autres ; elle exprime donc la quasivaleur de la plus grande racine de l’équation. J’appelle cette quasi-valeur p ,

d’où j’ai p, < p.

Je me sers de la notation p( pour marquer que cette quasi-valeur appartient à la plus grande racine , c’est-à-dire à la troisième , en suivant l’ordre des nombres.

Par la même raison , la seconde des deux quasi-valeurs j(A — i V A* — 3B) étant plus petite qu’aucune des valeurs de p, est la quasivaleur de la plus petite racine , je l’appelle <a ,

d’où j’ai p, > v.

Ces deux quasi-valeurs avec l’équation auxiliaire p = A — p , me donnent pour P les deux quasi-valeurs ,

pour?... P>f(A — V A1 — 3B);

pour 'a. . . P<y(A+ V^A* — 3B).

Par le mêïne raisonnement que ci-dessus , la première de ces deux quasi-valeurs est plus petite qu’aucuue des valeurs dont P est sus-

7^ TRAITÉ ÉLÉMEWTAIRE

ceptible : elle est donc la quasi-valeur de la somme des deux plus petites racines de la proposée. Par la même raison , la seconde est la quasi-valeur de la somme des deux plus grandes racines. J’appelle n cette dernière qui correspond à et 4 la' première qui correspond à p , et en résumant , j’aurai