somme 6., de«l y, P

is grandes racines J 4 ^

|t(À — W Aa — 3B)=w, d’où pt^>v, |f(A— t/A1— 5B)=4>, d’où P ><K ; JKA+21/a*— 3B)=?, d’où p,<jp.

pour plu

pour la plus petite racine

pour la somme des deux j plus petites racines pour la plus grande ra*1 1 cine

Ces quasi-valeurs, que j’appelle originelles , ne renferment que la relation des deux premiers coëfficiens A et B de la proposée. Avant de les rendre complètes, il est nécessaire d’appliquer ces premières formules à différens exemples pour confirmer la théorie que j’ai développée. Le tableau ci-joint, page 78, contient dix-neuf exemples différens ; il a fallu en donner ce grand nombre pour résoudre toutes les difficultés, ou plutôt pour faire voir comment les différens cas s’accordent avec la théorie. La première partie , jusqu’au douzième exemple, contient des équations dont toutes

DU CALCUL DIS INÉQUATIONS. 7g

les racines sont réelles : la deuxième partie contient les équations dans lesquelles deux racines sont imaginaires.

53. Toutes les équations du tableau ont été formées directement par la multiplication de trois facteurs simples , et l’on a exposé, dans chacune , les racines qui les ont formées , afin qu’on pût comparer les différentes quasi-valeurs , avec les valeurs correspondantes de l’équation. Les lignes I et II expriment les quasi-valeurs de et de <p.

Dans les quatre premiers exemples les quasivaleurs appartiennent à des équations , où toutes les racines sont négatives , conformément aux signes externes de la proposée x3 + Ax1 + Bæ + C = o ; et dans lesquelles les valeurs de p sont, par conséquent, positives, parce que x = — p. On voit qu’on a dans toutes pt>v, pt<<P.

On peut remarquer néanmoins, que dans le cinquième et sixième exemple , la quasi-valeur de -sr a une forme négative, quoique la vraie valeur soit positive ; mais la direction p > <u ne leur est pas moins conforme ; car cette direction du signe d’inéquation, annonce qu’en ajoutant une valeur positive s à la quasi-valeur 'a , on arrivera à la vraie valeur de p. Cette forme négative vient de ce que la latitudez,

ou le déficit de la quasi-valeur «r, surpasse la valeur de la petite racine : et cela a lieu toutes les fois que toutes les racines étant négatives , ou bien tous les coëfficiens de la proposée étant positifs, on a , en même temps, dans la quasivaleur p,>j(A — 7. V A* — 3B, A<a \/ A* — 3 B ou B<jA\ Cette quasi-valeur n’est négative en p que parce qu’elle n’est pas complète , comme on le verra. J’appelle ces quasi-valeurs extradivergentes.

Elles ressemblent à l’inéquation i> — 3 dont on a parlé ci-dessus. On a donc de ces sortes d’inéquations, puisque l’analyse les donne ; et on voit ce qu’elles signifient.

55. Le huitième exemple a les mêmes racines que le premier , à l’exception qu’elles sont positives en a;, et négatives en p. On voit que dans cet exemple ( — 3, 1547), qui devient, en l’effectuant*, (20 )p= — <3,i547 équivaut à/>,= — du premier exemple : et que réciproquement la quasi -valeur *»■ du même exemple; de sorte que l’ordre des quasi-valeurs est renversé.

En effet , si dans les quasi -valeurs de n, v etc. on fait A négatif, comme cela doit être dans les équations dont les racines sont positives en

DU CALCUL DSS INÉQUATIONS. 8l

x , et négatives en p , on aura , en faisant ressortir le signe négatif de A , '

P <nde»ia»tP <}( — A + l/ A1— 3B«uP =-r>f(A— VA,%- 3B =— ><*

p3<w. . . A — tV A1 3B...p,= — A*— — <<p

P>® .... P>f(— A — K A*— 3B...P =— <i(A+t/À“— 3B...P =— <n Pt<f /»3<ï( — A+2I/ Aa — 3B)../>3:=— >-J(A— y A* — — >w

56. Ceci est conforme à la théorie qii'on a établie relativement aux quantités pronégatives. Quand les racines sont positives en p , elles sont selon l’ordre des nombres 1 , a , 3j 4,5, etc. ; la plus petite est celle qui appartient au plus petit nombre. Il faut remarquer que les quasi-valeurs de p , que l’on obtient , naissent de l’équation p3 — Ap' + Bp. — C==o.

C’est l’équation à laquelle on aurait abouti si l’on ne l’eût pas abaissée d’un degré par la substitution de l’inéquation Q<[^P‘ à la placé

de Q = — . Or cette équation , par les signes

extérieurs de ses coè'fficiens , doit avoir toutes les racines positives ; et c’est , en conséquence , de cette forme qu’on a obtenu les quasi-valeurs p.^-ar, etc. : ces inéquations appartiennent donc à des quantités qui ont une direction positive ; lors donc que, par la valeur intrinsèque de A, Tt se trouve être une quantité négative, l’inéquation p,>« ne peut être néga-

Ô2 TRAITjj KL Ç # If NT A IR $

tivç ep conservant sa qièrne direction qu'aux tant qu’elle est pronégative , il faut qu’eUe appartienne aux premiers termes de la suite, „ — * 4, — 3, — 2, — r,o, + r, + 2, + 3 + 4, etc.

dont tous les termes ont la même direction. La plus petite de toutes ces valeurs est la plus •- grande,' en nombre, précédée du signe — , et -sr, qui est plus petitç que la plus petite racine , doit excéder , en nombre , la plus grande racine négativp : c’est ce qui a lieu ; car on a pour v , />>( — 3,i 547) et la plus petite racine est — 3 ; mais , en effectuant , l’ordre est ren- , versé aveç Ip signe d’inéquation , «■ se change en — (<f) en faisant ressortir le signe négatif, n en («>) , etc.

5,7. Dans les exemples suivans , où les racines .sont en partie négatives et en partie positives , les quasi-valeurs de sont également pronégatives : ainsi , dans l’exemple neuvième , on a pZ>( — 3^5724), qui, effectuée, devient p== — <^3,5724 , elle appartient à la plus grande racine négative p = — 3, les deux autres valeurs de p sont p— — 1 et p—z ; et cette qu^si* valeur excède , en nombre , la racine — 3 , parce qu’elle est plus petite que la racine : ce qui est encore une suite nécessaire de la nature des quantités pronégatives, et de l’inéquation générale ( — 3)<( — a).

nu CALCUL DES INÉQUATIONS. 8$

58. Maintenant pour rendre les quasi-va~ • leurs *■ et ? complètes , je tire de i’inéqua*

tion Q < j P%

et de l’inéquation opposée i n* > j Pa.

L’inéquation. . . . . Q<ïn*)

qui avec l’équation Q = — j donne ^ < - n ,

d’où j’obtiens. . . p,> —

et en substituant la valeur de n,

Cette quasi-valeur qui n’a encore qu’une limite, mais qui est complète, étant plus petite qu’aucune des valeurs de p, est plus près de sa plus petite valeur que de toute autre : elle est donc l’expression de la petite quasi-valeur complète • elle appartient donc à pl} je la désigne par kJ,

d’où j’ai kv=z

Si je compare maintenant la même inéquation <• ip.

avec l’autre inéquation! i p

Je ne puis pas conclure de lè la directjjQji . d'inéquation entre Q et -«J»11. J’exprime cçtte der*

nière inconnue par le signe || , d’où je tire par

lft même opération que ci-dessus ,

Puis eu substituant la valeur de 4 ,

I(A— V7Xr^3B}'*'

Cette seconde quasi-valeur est exprimée en fonctions de 4> , comme la prem i ère kv est exprimée en fonctions de n. Or * est plus petit que la somme

des deux plus petites racines. Le quotient —

doit donc appartenir à la grande quasi-valeur ,

comme le quotient de — appartient à la plus

petite. Je l’appellerai kf,

d’où j’ai k <p

5g. Il s’agit de voir quels sont les cas où l’on doit avoir p<k k p. Je substitue d’abord dans l’équation auxiliaire Q=B — P p, les quasivaleurs originelles n , et v à la place de P et d ep; au lieu d'une équation , j aurai une inéquation dont je ne connais pas la direction ; j ai donc q || b — nv. Or, en substituant les valeurs de n

et de j’ai

BU CALCUL DES INÉQUATIONS. 85 B— n.„ = .i(2A.*— 3B + aAt/A‘— 5B), ^ = i(A+l/A* — 3B)‘,

= jn*. (52)."

Or on a Q< jn“-(58). Donc Q<B— n ».

Donc l’inéquation />,>-- devient

B — n tr '

En substituant de même les valeurs de * et de p, j’ai également

Or Q |[ j **. Donc on a Q || B — * ç> ; et par con-

séquent l’inéquation />, || ’j — devient

, - <fca

= n ié <p.

B — $ tp

Go. Ces nouvelles expressions vont servir à déterminer la direction incertaine de cette dernière quasi-valeur. Je compare le produit Pp aux deux produits nw;et *<p. Et d’ahord, si je suppose que P reçoive un excès de valeur — g aux dépens de l’autre valeur correspondante/^, j’aurai au lieu de Pp^P + z) (p, — *), qui correspondra au produit n v ; car n a précisément en plus ce que v a en moins , à cause de n-par=A. Ce nouveau produit =Pp— (Pq z— p)z sera toujours plus petit que Pp, tant que la

U ■?r' fRM-tt rfL^MEITTAIRE

quantité P+ s. — p formera un résultat positif, ou tant que Ion aura p n», et par conséquent l’équation Q =B — Pp devient Q<CB — n-ar. Donc on

a toujours i>,>> . ..

En, comparant maintenant à Pp, si on imagine de même que p reçoive un excès de valeur anx dépens de P, ce qui a lieu dans le produit «j>Pou ip>P, en'mettant pour p, + z sa valeur <p; ou , si l’on veut encore, lorsqu’on aura pj,>$- L’équation Q = B — Pp devient donc alors Q<B — èt par conséquent l’on a

si p 5 > *.

Au contraire , le produit Pp?-— '(Pi + Z — P)* on sera >>Pp, sip^P — zou p5<;*,et, à plus

forte raison, si , on aura donc alors

Q>B-*-Oip ; et , par conséquent , <

Premier cas. . . .

Deuxième cas..

DU CALCUL DES t NliQU ATIONS. 87

6l. Pour développer lë principe de ceftè variété, il faut remarquer qué si ort partage un nombre én deux autres , le pluà gfàrtd produit , qui puisse en résulter , est quand il est partagé en deux parties égales : et le plus petit produit est quand l’une de ces parties ==d, ét l’autre = le nombre tout entier. Maintenant, le produit rr-v est composé de deux facteurs, dont la somme = A. Si l’on imagine donc que 'a croisse depuis o juSqu’à p. , ,• n décroissant de mèmè, pour faire toujours la même Sorti rtiè À , te produit n™ ira toujours en croissant jusqu’à ce qu’on arrivé à Vp, ; mais tant que « serait , comme cela a lieu quand tes racines sont réelles , te produit n® sera < Vpt , d'où Q < B — n® ; et , par conséquent,

Pl jusqu’à ce que «=^-p, ; alors’ on

*Bra P'=b3T>-'

Supposons maintenant que v croisse au-delà de la valeur de p, , j’appelle’ éetté quasi-valeur et n' 1^ valeur de n , qui aura diminué d’autant, on aura alors n' ^ > P/>, , et par consé-

qitenl p, < — — : c’est ce qu’on verra dans

la suite, lorsqu’on obtiendra la première' quasi-

Digilized by Coogle

valeur v , avec la direction p, <>. Il est bon de s’en souvenir.

En considérant cette quasi- valeur , par rap-

port' à la deuxième racine, j’aurai p,> — . . '■

tant que serait < pt parce que j’aurai nV < P pt , jusqu’à ce que j’arrive à <*' —pt ,

j aurai p, — - — - — ; enfaisantcroîtreencore-w'

au-delà de p, , j’aurai alors p,<- ~-a , qui ,

... i iJ — H -ar

relativement à la troisième racine p, , sera

P\ > * s* Je croître <a" jus-

qu’au-delà de p, , j’arriverai à la quasi-valeur <p , et j aurai p, < — , parce que j’ai p50;

mais il faut, pour cela, que P reste toujours >p,. Dans ce cas , comme on auraP><Dip5<^j le produit <t>p approchera plus du maximum de produit , que Pp} ; on aura donc 4>Pp? , et,

par conséquent, p, <- .

Mais si la plus grande racine p, est plus grande que la somme des deux autres P,, ce sera le contraire ; p , sera plus grand que p ; , qui est le plus grand facteur de Pp, , et <t> , qui

DU CALCUL DIS INÉQUATIONS.' 8g

est le plus petit facteur , sera plus petit que Pt ; le produit ? s’éloignera donc plus du maximum de produit que Pp5 ; ce sera , en sens contraire , la même relation que celle de n -ar à P p, ; on aura donc <s><? < Pp} , et par çonséy „ .. C i >•

Au reste , cette discussion , relativement à la variété de direction de la grande quasi-valeur complète est purement théorique, on n’en fait aucun usage dans le calcul des inéquations : on ne s’occupe que de la quasi-valeur complète de la plus petite racine p,. Ainsi je me bornerai à employer pour p} le signe incertain || , et

ïaura‘ '< 11 5^-

62. J’ai supposé les valeurs de p positives, mais supposons-les négatives, et que par conséquent les coëfficiens A etCde la proposée soient intrinsèquement négatifs. Comme dans ce cas l’inéquation p ,>■3- dévient p>( — <f), en faisant ressortir le signe négatif, ou p = — < P (55); par la même raison , la quasi-valeur complète

B — nv

deviendra, en faisant ressortir les

signes négatifs de A et de C , p,— -

TKAItÈ ÉLÜBÏEKÏAIRÉ

et réciproquement la quasi-valeur p, || ■

devient p5 = — >

B— un-#'

63. OH Voit que quand les râciUes sont toutes du même signe additionnel , c’est toujours la plus petite quasi -Valeur en nombre et indépendamment de son signe qui a Une direction d’inéquation invariable , quand elle est complète. Quand les racines sont négatives, ou toutes positives en p, e’est la valeur de v qui est la plus petite quasi-Valeur en nombre; quand elles sont toutes négatives en p, c’est la valeur de p qui se change alors en

64. Mais quand les racines sont en partie positives et négatives, n et $ peuvent vàrieè d’une infinité de manières relativement à •» et à p ; alors la plus petite racine èn nombre peut appartenir à v, ou à p , ou à la quasi- valeur moyenne» ' wt i .

Pour éviter toute ambiguité relativement aux mots plus petit et plus grand , j’appellerai la plus petite racine , celle qui est la plus petite en rlombre indépendamment de son signe ; et la ptemière racine , oelle dont la quasi-valéur est exprimée par p, Ainsi dans l’équation

dont les trois valeurs en p sowifc *‘-3, i , +• à , lâ première racine est — 5 , c’est celle qui

DU CAUCÜU DES INÉOtî ÂtlONS.

correspond à p ]> v , et elle n’est pas la pins petite racine qui est — - 1 .

Lors donc que les racines sont de différenS signes , on ne peut établir aucune règle relativement à la direction de la quasi-valeur complète t». Il n’y a que les quasi-valeurs Originelles ou incomplètes p, > « et p, < ? , qui ayent une direction invariable , quel que soit le signe additionnel des racines. • .

65. Ces deux inéquations extrêmes sont la base du calcul. On peut remarquer qu’elles ne distinguent pas directement les racines de l’équation , elles n’assignent que les deux limites opposées de toutes les valeurs dotrt p est susceptible; c’est ainsi dans tous les degrés ; et c’est à l’aide de ces limites qu’on parvient successivement à séparer les racines.

66. Pour éviter la complication qui résulterait dans le calcul et la théorie, par rapport aux équations dont les racines auraient dès signes additionnels différens, On suppose d’abord que les coéfôciens de Ja proposée, dans quelque degré que ce soit, xm + kxm~' +B*”"-1, etc. sont tous intrinsèquement positifs ; et quand ils sont d’une valeur quelconque négative ou positive , on les ramène à une équation dont toutes les racines ont le même signe. Néanmoins on aboutit à des forrnules de solution

9a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

qui conviennent à toutes les équations, quel que soit le signe additionnel de leur racine, sans qu il soit necessaire de faire subir aucune transformation aux équations , comme on le verra dans le second mode de solution.

On commencera donc ici par supposer que tous les coéfficiens de l’équation

t’ + Ax' +Bx + C = o

sont intrinsèquement positifs, que par conséquent les racines sont toutes négatives en x et positives en p. Si elles sont réelles, ou a pour les quasi-valeurs complètes les inéquations

et en substituant, au lieu de n et de * , leur valeur A — «s-, et A — p,

-v*— A*r+B ->%wr;Pi II p.a?+b= 11 h'

68. il s’agit maintenant de déterminer la direction de w à kw et de p à kp. Pour la connaître, je fais cette suite d’inéquations incertaines : - - . ...

Il |j o.«3— A-3r*-f B^— .C JT o.

Ij. >** — A'sr+B

Or cette dernière inéquation est précisément de la même forme que l’équation

p3 — Apa -f- Bp — C = o.

DU CALCUL DES INEQUATIONS. g3

C’est cette même équation dans laquelle on aurait mis la quasi-valeur a- à la place de p. Elle doit donc être considérée comme composée des trois facteurs («• — a ) (*• — b) (*• — c ) Il o , en appelant a, b, c, les racines de la proposée. Or dep,>®- , il s’ensuit que w est moindre que la plus petite racine, et que par conséquent Ges trois facteurs sont négatifs. On a donc

de la.. . '»<' et '&<'&&.

Pour déterminer la direction de 9 k ip, comme cette inéquation complète a son signe d’inéquation variable , je considère d’abord

^ ? ' . J’ai dans ce premier cas , à plus forte Pi>k<P

raison , d’où p> — — — : enfin

f3 — A?* + B — C>o; je prends ensuite le

deuxième cas J P* ^ . Comme on ne peut

l Pi<tf

rien conclure de là , j’ai d’abord 9 || k 9 ,

puis P |l - — 7— — , enfin ?s — A?* + B — C"o ;

mais en la décomposant de même en ses trois facteurs (f — o) (9 — b) (9 — ç) || o, comme 9 est plus grand que la plus grande valeur de p, à

cause de p<Lt , ces trois facteurs sont tous positifs , si les trois racines sont réelles. On a donc encore — Ap’-t-B? — c>o, d’où p>kf.

Ainsi, cette dernière inéquation 9>lf est invariable.

En reprenant maintenant les deux inéquations

6g. *rs — A^’ + Bw — C<o.... r*, p5 — A <p* "b B p — «■ C o. . , . 2m* ,

si je mets à la place de «• et de <p leurs valeurs , j’aurai

70. — 2A3 +9AB— 37C — W (A*— 3B)3<o . , , 1™, — 2A3+9AB— . . a"".

Il est aisé de faire voir maintenant que ces deux inéquations appartiennent généralement à toute équation du troisième degré , quelle que soit la valeur des coëfficiens, ou quel que soit le signe additionnel des racines. En effet, à cause de /?,]>«■ et toutes les racines

sont entre ces deux limites , quel que soit leur signe. Par exemple , si les racines en valeurs de p sont s, 3, 5 , » sera <1 et <?>3 ; et si elles sont, comme dans le neuvième exemple,

3 — 1 q- a , ces trois valeurs sont encore

entre * et <p, car on a pt>^=^> — 3,5734 ei <^3,3393. Supposons donc qu’on augmente successivement la quasi -valeur v en

lui ajoutant des quantités positives jusqu’à ce quelle parvienne à la valeur 4e ? , on franchira d’abord la valeur de la première racine, et l’on aura alors «r,3 A etc. >0, après avoir franchi la seconde. Cette inéquation deviendra < o. Enfin , après la troisième, elle deviendra >o; mais alors ce sera,

<p3 — A ij1 -J- B <p — Ç o.

Ces deux inéquations , l’une en s- et l’autre en <p, ne peuvent donc pas avoir le même signe d’inéquation si les trois racines sont replies.

Mais maintenant si on considère ces deux mêmes inéquations en valeurs de coèfficiens A + 9A h , etç. on voit qu elles ne diffèrent que par le signe additionnel qui précède le radical l/(A‘— 5B)’, donc il est nécessaire que celle de ces deux inéquations où ce radical est précédé du signe + , soit > o , et que l’autre soit <0; donc ces deux inéquations appartiennent généralement aux équations du troisième degré, quels que soient le signe et la valeur des racines , et elles sont les deux équations de condition, d après lesquelles les trois racines doivent être, réelles.

En les multipliant l’une par l’autre , il est clair que leur produit sera négatif; et au lieu de deux inéquations conditionnelles , j’aurai la suivant qui }e$ renfermera toutes Us dsu* :

71. 4A3C— A’B*— i8ABC+4B3-f 27Ca<o, résultat que l’on obtient par la méthode des équations , et qui est le même que celui trouvé par La Grange. On voit déjà comment le calcul des inéquations décompose les fonctions que la méthode des équations ne peut offrir que dans un état de composition.

Les deux inéquations (70) peuvent être ainsi exprimées :

72. A3— 27C— 3A(Aa— 3B)— 2</ (A3— 3B)3<o... V‘ , A3— 27C— 3A(A’— 3B)-t-2V/ (A*-^3B)3>o... 2“'.

73. Cette relation des trois coëfficiens constitue l’inégalité des racines. Car quand elles sont toutes égales , on a séparément A3-— 270 = 0, A* — 3B=o, et ces deux inéquations sont = 0;

on a alors *r et <p = 7 A , k* et p = - — = {A.

J’exprimerai la relation rationnelle des coëfficiens A, B, C, par SC. Cette expression veut dire somme rationnelle des relations des cotffîciens jusqu’à C. Je ferai en même temps le radical originel V A* — 3 B = t / r, d’où les deux inéquations ci-dessus prendront la forme

74. i'e... »SC — 2rV/r<q) uj*SC<2/Vn 2“'... <SC+2rt/r>oj°U j‘SC>— 2/Vr.

Je remarque maintenant que les deux inéqua-

tions SC<^ar\/r et »SC>2r V r sont les deux racines du quarré *S’C*<;4r3. Et en exprimant cette dernière en valeurs de coëfficiens , on aurait tout de même l’inéquation ci-dessus. On peut observer qu’en élevant au quarré une de ces inéquations, on ne fait que recomposer la décomposition qu’on avait faite, et alors l’autre inéquation sert toujours d’inéquation de condition pour déterminer quelle direction doit avoir l’inéquation du quarré. Si iÿC est négatif, il faut qu’il soitplus petit en nombre que arV r,

Ces deux inéquations répondent alors à — 2<3 et — 2> — 5. Pour élever la seconde au quarré , il faudra que je l’effectue , et je n’aurai toujours que la même inéquation au quarré iS*C*.<4r3. Si iSC est positif, la première répond à l'inéquation 2 <3, et la seconde à 2> — 3; pour élever cette deuxième au quarré , il faudra l’effectuer, et j’aurai 2 < — (3), ou simplement 2 >3 qui est la même chose que la première ; ainsi , dans tous les cas , je n’aurai qu’une seule inéquation au quarré.