Il s’agit maintenant de déterminer les Des r

quand l’équation contient des racines imaginaires. D’abord les deux racines peuvent être

pour que l’on ait en même temps

I 11** 1 * » * V.IUCS IUI.

changemens de direction des inéquations paires.

imaginaires en vertu de la relation des deux premiers coëfficiens A et B : alors le radical originel V A* — 3B ou V r n’est plus réel , et les deux quasi- valeurs et ? appartiennent aux deux racines imaginaires; elles en forment, l'une et l’autre , la paire par leur forme -» = ■;( A — a /r) etp = j(A + a V^r). En ne les considérant plus que relativement à leur partie réelle , elles ne sont plus les deux racines extrêmes de l’équation , elles forment alors une paire de racines égales : et, en les additionnant , il reste pour l’autre racine p || 7 A, dont on déterminera la direction.

76. Supposons que V A* — 3B soit réel, les deux quasi-valeurs -n- et> seront réelles ; mais il faudra alors que l’une des deux appartienne à une des deux racines imaginaires, et l’autre à la racine réelle : car , en les comparant ensemble , on a d’abord «• || p,

d’où 7 ( A — 2 V r) Hj(A-{-2V/2,

puis o J) 4 V r*

Ôr le deuxième membre de cette dernière inéquation , qui répond à ? , est par sa nature positif, toutes les fois que V r est réel , on a donc o<4 V r et par conséquent : donc les parties réelles de ces deux quasi -valeurs

sont inégales ; donc les deux quasi-valeurs v et <p ne peuvent plus faire la paire des deux racines imaginaires : car on a démontré que les racines imaginaires, d’une équation ne peuvent se trouver que sous la forme

x = a + b \/ — 1, x ~ a — bV — i :

donc il est nécessaire que l’une des deux quasivaleurs originelles , appartienne à la racine réelle de l’équation.

77. Maintenant, en décomposant l’équation proposée en (x'-t-Par + Q) (a:+p) , les quasivaleurs n eto appartiennent à P de l’équation du deuxième degré , et •a et <p appartiennent à p : et c’est en vertu de l’inéquation Q<^P* , qu’on a eu , p<? , etc. Supposons maintenant que l’équation -f- Pjc 4- Q = o contienne les deux racines imaginaires , on aura alors Q > ; P* , et delà on aura p, < « , si c’est la petite quasi-valeur qui est réelle , et p, > p , si c’est la grande.

Il faut bien remarquer que ce n’est pas à la fois qu’on a deux inéquations , c’est l’une ou l’autre , selon que c’est la petite ou la grande quasi- valeur qui appartient à la racine réelle.

78. On peut encore déterminer une autre limite àla partie réelle des racines imaginaires;

ioo ÏRAITK ÉLÉMENTAIRE

car, dans ce cas, l’équation indéterminée x’ + Pa: + Q = o

contient la racine réelle et l’autre racine imaginaire ; ses deux facteurs sont donc de la forme

(x* + (a + b)x + ab 1 Q

OU'”j (±c V — i )xdtzac\/ — ij

Or, en ne considérant cette équal ion que quant à sa partie réelle seulement, on a Q<jP*. Donc la direction de la quasi-valeur » ou ? qui en résulte , est la même que celle qui a lieu quand les racines sont réelles. Donc on a ces rapports d’inéquation ,

jj, réel.. ( ^ 9’ • • P] reel. ..

79. Quant à la partie réelle des deux racines imaginaires, comme elle est égale dans toutes les deux , si la petite racine est réelle , on a Pi<Cv pour la racine réelle, et P>n pour la partie réelle de la somme ‘des deux imaginaires. On a donc pour chacune d’elles,

?,}>ïn =>}<>+ v/F).

Pi i

1)U CALCUL DES IlfêQUATION S. ÏOl

Si c’est tp qui appartient à la racine réelle , on a par la même raison ,