Pour reconnaître maintenant laquelle

des deux quasi-valeurs *• ou <p appartient à la racine réelle, j’ai pour le cas où p, est réel (77), »s — A^’+B» — C>o f *SC — ary'r^Of

— A<p' + B<p — C>o j 1 SC + ar ^/7\>o.

Car dans le produit des trois coëfficiens (*r — a) (» — b)(v — c) || o, le premier facteur » — a est positif à cause de p O, et le produit des deux autres racines est toujourspositif, parce qu’elles sont imaginaires. Le produit des trois facteurs ne doit donc cesser d’être positif, quoiqu’on fasse croître w jusqu’à la valeur de <p.

Au contraire, si est réel, l’inéquation rend le facteur <p — c négatif. Le produit des trois facteurs ne peut donc pas cesser de l’être'. On a donc pour ce second cas ,

*-5 — A»* + B’r — C<o.... SC — art/r~< o, ç3 — A <p* -J- B i p — C<o. . . » iSC + arl/ r<o.

81. Quand j/A* — 3 B eSt imaginaire (je l’exprimerai par V — r. ), on a alors, comme on l’a déjà vu , pour la racine réelle, p [| i A. J’appelle cette quasi-valeur 4» d’où j’ai d’abord 4^— A4*+B4— C [| o, ou — aA3+9AB — 27C || o,

103 TRAITÉ ÉI.ÉMEMTAIRK

ou SC || o. Lors donc- que iîC est positif, il faut que le facteur réel , quel qu’il soit , du produit (4 — a) (4 — b) (4 — c ) soit positif. Il faut donc que l’on ait pour la racine réelle ou

p<4; alors c'est la petite racine qui est la réelle; car la partie rationnelle des deux imaginaires est alors >7 A, d’où Ton a cette règle

\iSC>o... n,< j A...

Au contraire, quand on aSC<o, il faut que le Facteur réel du produit (4 — à) (4 — b) (4 — c) soit négatif ; il faut donc que l’on ait p>4 °u p>7 A. Dans ce cas, ce. sera donc la grande racine qui sera réelle. ( Je ne considère ici grande et petite racine; que par rapport à la partie réelle des racines imaginaires.) On aura

82. On peut conclure que si SC — o, on a pour la racine réelle et pour la partie réelle des deux autres p = 7 A .

La 'méthode des équations confond ces différées cas par la seule inéquation générale 4 A3 — A“B* — , etc. (7»)>-o, qui apprend seulement que la proposée a, deux racines imaginaires, et voilà tout. ;

83. Il s’agit de délerminer la direction de la quasi-valeur complète qui appartient à la racine

réelle. D’abord quand ■* et <p sont réels, si c’est la petite racine p , qui est réelle, on a à cause

de />,<«-, P>n, d’où | tp^Q1 î donc Q>inS

doù ou P'<jr~

■, ou enfin

' -Asr + B

. Si c’est la grande racine qui

tp*<Q .

11 y a encore la même incertitude que celle qui a lieu quand les trois racines sont réelles ; ainsi

j’aurai/,.i?3rrFB- __

La même chose a lieu avec — r : car j’aurai , quand la petite racine est la réelle à cause

de />,<+, P>f; puis j . d’où <}<;*•;>

P““ p.<^r„ «>' P.<bTTÏ4

ou enfin

La même incertitude a lieu

9B — aA*

pour la direction de Æ4 quand la grande racine est réelle , et l’on a

nc 9C

Pi II

- ou/i ||

Toutes les loix de la direction des quasivaleurs sont résumées dans le tableau ci-joint :