Quand les trois racines sont réelles

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Quand deux racines sont imaginaires.

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avec 1 5C>o . . . . . . réelle . . . p,<j&4 . . . 4>*4-

ÿ-—r | SC<b. . . p3>4. • • réelle. . . p3 || *4. . -4<*4-

On peut voir maintenant que toutes les directions qu’on vient d’exposer, se trouvent conformes à tous les exemples du tableau , |>age 178. On voit d’abord que les directions des quasi-valeurs originelles appartenant à des racines réelles ou imaginaires, », <p, 4> sont toutes conformes aux loix qu’on vient de développer.

On peut voir que pour les sept premiers exemples , dont toutes les racineqgmt le même signe , on a constamment p, > -sr et pf > Æ», et pour les racines imaginaires^.^*-, /?,<£*-, p,<4>p,<Æ4 » et, qu’en général, il n’y a que

DU CALCUL DES îmÉQU ATIO NS. ïo5

la quasi-valeur complète de la petite racine , qui ait une direction de'terminée par une loi constante dans toutes les équations dont les racines ont le même signe, quoiqu’il s’y trouve des racines imaginaires , pourvu que la petite racine soit réelle*.

Quant à la quasi - valeur complète de la grande racine iç, on peut remarquer que dans le troisième exemple on a p<> et p<.k<p , parce qu’on a , en même temps , *> P ; dans les autres, depuis le premier jusqu’au septième , on a p~>iip , parce que l’on a p}>*.

On peut remarquer que dans les exemples cinq et six , où l’on a pour la petite quasivaleur originelle p, >—4,68, pt>— 5,a3 ; ces quasi- valeurs deviennent positives, p,> 0,209, et p, > 0,107 quand elles sont complètes , et leur direction tend vers la vraie racine qui est = 1 dans les deux exemples.

85 . J’observe , en dernier lieu , que les exemples six et sept présentent une particularité remarquable : dans les autres exemples les valeurs de 0- et de ? ne donnent que les valeurs approchées des racines auxquelles elles correspondent ; tandis que dans le premier de ces deux exemples la valeur de p est la valeur exacte de la grande racine =20; et dans le deuxième or donne exactement la valeur de la première

racine = 3 : cela vient de ce que ces deux équations ont deux racines égales. Pour en concevoir la raison , imaginons que les trois racines d’une équation soient égales , elles seront toutes = 7 A. S’il y en a seulement d’eux d’égales, l’inégalité de la troisième ne peut être considérée produite, que parce qu’elle aura pris à chacune des deux autres une quantité égale pour l’ajouter à la sienne, si elle est la plus grande , ou bien parce qu’elle aura retranché de sa valeur une quantité qu’elle aura partagée également entre les deux.autres , si elle est la plus petite. Soit donc z la quantité ajoutée ou retranchée de chaque racine égale, on aura p — \ Arts, p=-fkdt.z pour les deux racines égales et /> = 7 A 2 z pour la racine inégale. La somme des produits de ces trois valeurs multipliées deux à deux est, toute réduction faite, = j Aa — 3z’;or comme la somme de ces produits = B , on aura A* — gz1 = 3 B ; d’où z — \Vk' — 3B : donc la racine inégale

/> = 7 ( kz+izV A* — 3 B = *• ou <p ;

donc la valeur de » ou de 9 doit être exactement égale à la valeur de la racine inégale , et n ou « à la somme des deux racines égales.

La même particularité a lieu pour les équations de tous les degrés qui ont toutes leurs

Digitizec

Dr CALCUL DES 1 If ÉQÜ ATIONS. ÏO7

racines égales, moins une, et on le démontre par le même principe.

De la concentration directe.

86. Ce qu’on a dit jusqua présent n’a eu pour but que d’assigner les quasi-valeurs extrêmes de l’équation , et elles se trouvent encore quelquefois assez éloignées de la valeur des racines auxquelles elles correspondent. Il s’agit maintenant de les y faire aboutir. Je commence par le cas où les racines sont toutes réelles, et je suppose, en même temps , qu’elles sont du même signe.

Pour concentrer d’abord la petite quasivaleur , on a, d’après le tableau ci -joint, p(>ar, p(~>kzr et *■<£*• que je mets sous cette

(■zr<^kzr

* 'V Maintenant de on a

Pi Pi

k w3 — — A k w% -J- 15 k tr — C ^ o ,

d’où

B-in»

w ; de même que »-<

• se trans-

forme en sr < kn.

En même temps la même inéquation p,>kw

donne P<*IT, d’où p,>B — > ou

io8

par lg même raison encore que p, > —

donne p,~^>kw : donc on a

De pi>AV on a encore A'»3 — AA'»-* + BA » — C<o,

d’où k '»•<; — — — ou A'»-<A"®'. Et de la

même inéquation p^k'v , on a P<A'n; puis

-, ou p,>A"».

B — In»

On voit que , par le même raisonnement , on aura A"»•<;A,"*' et pt>k"' *■ ; et ainsi de suite : on aura donc la série suivante :

«•<*•■<*'»<*" W<k'"wy etc

Pi Pi Pt Pt Pt

Dans cette série les termes A», A'*- etc. iront toujours en croissant ; mais la direction constante Pt^ktz , pt > A'-w , etc. fait voir qu’ils n’atteindront jamais la valeur exacte de la petite racine , et qu’ils s’en approcheront toujours : de sorte que la limite de cette série sera la valeur de p,.

. Si l’on donnait à w une augmentation de valeur qui la rendît plus grande que la petite racine p, , on aurait d’abord (61), en appe-

lant *•' , cette quasi-valeur »■' >■&»'. Ensuite de

Pi P •

l’inéquation /»,<»', j’ai

k ar/,s — A k v' * -+• B k »• — G 0 j

puis £ *■' > - =-?-; = >*'»'■

d — /fc n

De la même inéquation pt<Lktr', j’aiP>jfcn'; puis d’où p,<- ; — —, en rai-

B — kn zr

sonnant de même pour les termes suivans,j 'aurai encore la série convergente :

V>*V'>*"V , etc.

Pi

Pi

Pl

qui aboutira encore à la valeur de p, par une direction contraire à la première.

89* J’aurai toujours cette série de concentration , tant que je donnerai à *- une valeur qui n’excédera pas la seconde racine de p%. Supposons qu’on lui donne une valeur ,

alors on aura »"3 — A *•'*-{- Bar" — C<o; car cette inéquation sera alors composée des trois facteurs («r" — a) (ar" — b) (»■" — c), qui n’aura plus que le facteur v" — c de négatif. On aura

donc *r"<- — -ÿ = <&*/; de là si n' con-

tinue d’être >»•", avec pa< ar"on aura n"ar*>Pp,