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P, P, P, Pi ’ j
Ainsi l’on voit que la troisième racine peut être concentrée par deux séries de concentration opposées , qui aboutissent toutes les deux à la valeur de la racine comme la première.
03. Si l’équation avait quatre racines, on verrait que la quatrième aurait deux séries de concentration divergentes opposées l’une à l’autre comme, la seconde ; c’est une suite nécessaire de la concentration convergente de la troisième racine. Si l’équation avait cinq racines , la cinquième aurait par cette raison une double série convergente de concentration , et ainsi de suite, comme on le verra ci-après.
94. On suppose dans cette théorie que la somme des deux racines P est plus grande que la troisième racine p,. Mais si le contraire avait lieu , et si l’on avait , dans ce second cas , on a jcq <C P et p? ;> k f ; on a donc à plus forte raison <p < A e ; mais alors A ? a dépassé la valeur de p j , et la latitude de est égale à la
somme des latitudes de p, < 9 et p5 ;> A t> ; il ne
DU CALCUL DÛS 1 WÉ QUATIOH S. Îl3
peut donc en résulter qu’une série divergente et vague dont je ne m’occuperai pas.
g5. On voit d’abord que quand toutes les racines sont du même signe, il n’y â que la petite racine qui puisse toujours se concentrer, parce qu’on a toujours P >p, et n>*r. Mais quand les racines sont de différens signes, alors la relation de P à pt peut varier d’une infinité de manières ; et l'anomalie qui en résulte, peut se porter sur toutes les racines. Au reste, on ne considère dans cette section que les équations dont toutes les racines ont Je même signe.
96. On voit que quand il y a des racines imaginaires, ce n’est toujours que la petite quasi-valeur » ou 4 qui puisse se complète^ d'une manière invariable lorsqu’elle est réelle : c’est aussi la seule qui puisse se concentrer. En effet , je considère le cas où w ou p est réel. Si c’est o- qui correspond à la racine réelle , on a d’abord ce rapport d’inéquation (84)~>*w,
en vertu duquel on aura encore la série
■a- k h' sr k" v , etc.
Pt Pt Pt Pt
Comme on a eu ci-dessus la même en * (87) , le raisonnement est le même. Et si dans ce cas on donnait à » une valeur «■' qui fût moindre
ï* 4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
que p, , on aurait encore par le même raisonnement la série contraire,
v > k w > k' ■s' 7> k" -a- ' 7> k"' i r , etc.
P i P> Z7» Pt Pt
qui convergerait également vers la petite racine. Ainsi/ces deux séries de concentration seraient dans un ordre inverse de celui qui a lieu quand les trois racines sont réelles (87) (88).
La même chose aurait lieu si c’était 9 qui correspondît à la racine réelle. Si l’on a il en résulte les rapports d’inéquation <t> <C.k q> ,
Pi P
d’où résulte la série
<p > kç > k' ç > k" q> > k"' ç , etc.
Pi Pi Pi Pi Pi
Et si l’on donnait à p une valeur ç' qui surpassât p, , on aurait une autre série contraire , comme pour » , et ces deux séries convergentes seraient inverses de celles qui ont lieu quand les trois racines sont réelles (91) (9a).
Si on a d’où l’on ne
peut avoir une série de concentration , comme ci-dessus (94) , mais seulement déùx limites opposées entre lesquelles se trouve la racine.
gy. Si le radical originel est imaginaire, la même chose a encore lieu. Si c’est la petite racine qui est réelle, on a p<j A ou p<4 (84)-
DU CALCUL DES INÉQUATIONS. Il5
C’est le cas où SC>oj 00 a alors 4>^4,
d’où l’on tire encore la série convergente
4>*4>*'4>*? 4>A"'4,etc.)
