Dans l équation générale du troisième Règle gè

- , - ^ j , nérale do

degre x + Ax* + Bx + L=o , la petite qùasi- concentravaleur v , si elle répond à une racine réelle , ,I0D‘ est la seule susceptible de se concentrer par une loi invariable , si toutes les racines sont négatives , et quand elles sont toutes positives , c'est la quasi -valeur <p qui a celte propriété.

On verra que cette loi s’applique aux équations de tous les degrés.

102. Il s’agit de confirmer ce que je viens de dire par des exemples. Je prends le premier du tableau , j’ai , en opérant toujours par la

formule générale , p,> — — —

B — — Il ,sr

Jl8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

^ = 6,8453 j A proportion que l’on conh ^ = 0,903 I centre, on se rapproche plus h" * = 0,96 > lentement de la valeur ( on

h,"'vz=z 0,973 l verra ci-après les moyens de etc. 1 s’en rapprocher plus rapide-

ment ). En attendant on peut arriver assez promptement à la racine à l’aide de cette première méthode.

Au lieu de continuer la concentration avec le nombre précis que j’obtiens , je complète la dernière ou l’avant-dernière décimale ; je suis sûr que , si par cette opération j’ai franchi la valeur de la racine, j’obtiendrai par la concentration une valeur plus petite que celle que j'avais prise, et qui me ramènera, en sens contraire, à la valeur de la racine, comme on peut le conclure d’après les séries de concentration opposées (87) (88). Dans ce cas-ci , si je complétais l’avant-dernière décimale, j’arriverais à la vraie valeur =i ; je franchis à dessein cette valeur , et je fais hv— 1,1, j'obtiens par la concentration k V=i,o6 ; comme cette valeur est plus petite que kw , je conclus que j’ai franchi la limite de la valeur. Par ce moyen j’ai obtenu artificiellement une limite opposée à la première.

On peut observer que cette deuxième limite n’est prise que par tâtonnement , je l’emploie

DU CALCUL DES IHÉQUATIONS. 1 19 ici provisoirement : dans la section suivante on obtiendra, par une formule algébrique, une valeur de x qui donnera une limite oppo-

sée à la limite p > qu’on a obtenue

dans cette section.

103. Maintenant, à l’aide des deux limites opposées que je me suis procurées, je puis parvenir au centre de la valeur par deux moyens. Le premier est appuyé sur cette propriété des séries de concentration ; savoir, que plus on approche de la valeur, plus les pas de concentration sont petits : cela posé en comparant k" = 0,96 avec k'"^ = 0,973, j’ai pour différence o,oi3 ; c’est le pas de concentration. Et en comparant la valeur excédante kv'zzzi,! avec k'^'=i,o6, le pas de concentration = 0,04 qui est plus grand que l’autre ; cette limite est donc plus loin de la vraie valeur ; je la concentre et j’ai k'" •&' = 1,027 ; j’ai alors pour différence entre ces deux dernières o,ot3, qui est la même que celle de k" v à k'" <0 ; j’ai donc k'" et k " tt' à égale distance de la racine, je les additionne et j’en prends la moitié, ce qui me donne la valeur de la racine = 1 .

lo4. Par la deuxième méthode j’additionne immédiatement les deux limites opposées ,

°’973 avec A ■*' = ïj06 que j’ai par une première concentration ; j’ai pour quasi -valeur moyenne i,o3; j ignore si elle est en-deçà ou au-delà de la racine ; mais en la concentrant j obtiens i ,02 ; je conclus que je suis au-delà ; j additionne encore cette dernière quasi-valeur avec la limite opposée A ■sr = 0,973, j’ai pour quasi-valeur moyenne 0,997 » je concentre encore et j’obtiens la quasi-valeur 0,9995. On voit avec quelle rapidité on concentre encore par ce moyen.

11 en est de même des autres exemples dans lesquels les racines ont le même signe , on peut toujours concentrer , de la même manière , la petite quasi-valeur , pourvu que la petite racine soit réelle , que les autres soient d ailleurs réelles ou imaginaires. Je prends l’exemple vingtième du tableau , dans lequel on a V — r. L’inéquation de condition iÿC>o apprend que c’est la petite racine qui est réelle , on a alors p, <-4. , puis 4 = i,6 j Les différens de la concentration A 4 = 1 ,2 > tendent à la valeur 1 , qui est celle A 4 = 1 ,07 j de la racine. Je me procure encore à dessein une limite opposée , et je fais A4' 0,9, j’ai À- '4 = 0,96. En opérant comme ci-dessus , entre cette limite trop petite et la limite trop

grande A'4 = 1,07 , on parviendra plus rapide ment à la racine.

Pour faire voir que la grande quasi-valeur se concentre également dans le cas où l’on a /7,<CP, je prends l’exemple i5 du tableau qui donne SC=f=ar\/ r<Co , e.t qui par conséquent n’a que la grande racine de réelle , et sa quasivaleur réelle est = >5,6666; et comme on a 0 = 7,3333 = >p, , cette quasi-valeur est susceptible de se concentrer , et l’on a

o = 5,666 ) Les différens termes tendent à A 0 = 5,802 f lavaleurdelaracinequiest=6.

A'? = 5,89 [ On peut se faire encore une k"t = 5,g5 ) limite opposée, et aboutir plutôt

à cette valeur.

Je prendrai encore l’exemple 19 où le radical originel est imaginaire; et comme on a iÿC<o, il s’ensuit que c’est la grande racine qui est la réelle. On a donc p, >4 =>3,333. En la concentrant , j’ai

4 = 3,333 ) Cette progresssion toujours A 4 = 3,396 f croissante et dont les termes A' 4 = 3,46 [ diffèrent entr’eux de moins en A"4 = 3,52 ] moins, c’est ce qui me fait conclure qu’elle est susceptible de concentration.

Lorsque p?> P, la quasi -valeur que l’on obtient franchit la valeur de la racine dans toute espèce d’équation , comme on l’a vu. Si

l’on concentre ces espèces de quasi-valeurs , il en doit résulter une série divergente et vague. Je prends l’exemple i3 du tableau qui donne »yC=f;2rl/r<o , d’où je conclus que la grande racine est réelle; j’ai donc p>9=>i9,8734- Et comme dans cet.exemple * = 14,1261), j’ai 9>$, la concentration 11e peut avoir lieu, et en concentrant , j’ai

9 = 19,8734 j On voit que les deux termes *9 = 20,a5g8 ( qui approchent le plus de la k'p= 16,2263 | racine qui est =20, sont 9 *'9=19,57 j et *9, et que les autres s’en éloignent , puis s’en rapprochent , puis s’en éloignent par des loix qui varient à raison du rapport de P à p, , et qu’il est parfaitement inutile de discuter.

De la eon- io5. Cependant à l’aide des deux quasi-

ceotration . 1 , . ,

de com- valeurs opposées 9 et *9, on peut aisément

peasatiuu. . , . . , *

parvenir a la racine par le moyen suivant, que j’appliquerai seulement au cas où le radical originel est imaginaire , parce qu’il dispense d’un plus long calcul. Je l’appelle concentration de compensation Je prends l’exemple 18 du tableau où l’on a 5*0 O; d’où je conclus que la grande racine est réelle; j’ai donc p, >4 = >0,6667. P°ur savoir si j’ai p}> 4 ou p? > i A , je concentre 4 » et j’ai

Dû CALCUL DES INÉQUATIONS. 123

On voit que cette se'rie divague , j’ai d’abord

*4>rA=>i,355; le terme suivant augmente ; puis celui que j’obtiens après diminue. Je conclus que la valeur est entre 4 et A4- J’additionne ces deux quasi-valeurs, et j’en prends la moitié, qui me donne la quasi -valeur moyenne /x=i,5458; je la concentre tou-

jours par la formule p>- , qui est ici

/!>■- j’ai A/* = a,3afi6. J’en prends de

même la quasi-valeur moyenne entre n et kp, que je concentre de même, et j’ai AV ; je prends la quasi-valeur moyenne entre A/x et AV , et ainsi de suite, comme on voit.