i 4 = 2,4î5 j ky

7*; a.naaoj Ja)0o47)

ky"

2,oooo4 = y".

|2,ooo4 y

On voit qu’il est inutile de prolonger cette espèce de série plus loin , et que la racine

estp,f=a.

100. 11 faut bien remarquer maintenant que cette méthode ne peut avoir lieu que lorsque les racines sont du même signe , ainsi que les

méthodes précédentes. Mais lorsqu’il y a des racines imaginaires , on ne peut pas conclure que toutes les racines sont du même signe, quant à leur partie réelle , lorsque les coëfficiens de la proposée sont ou tous positifs ou alternativement positifs et négatifs. Par exemple l’équation a:3 + 3ar“4-aa;+ i5 = o annonce par ses coëfficiens, tous positifs, que les trois racines sont négatives ; elle est néanmoins composée des deux facteurs (v+3) (x* — .v + 5), dans lesquels la partie réelle des deux racines imaginaires est positive. Le radical originel dans cette équation est imaginaire, et la racine réelle est la plus grande. Dans cet exemple , si l’on emploie la méthode ci-dessus, au lieu d’aboutir à la vraie racine , on aura une série qui s’en écartera et qui divaguera, comme cela a lieu dans toutes les équations dont les racines ou les parties réelles des racines ont des signes différens.

Mais maintenant les méthodes qu’on vient de développer suffisent pour résoudre les équations dont les racines ont des signes différens ; il suffit pour cela de donner à l’équation une préparation qui rende toutes ses racines du même signe ; elle consiste seulement à faire x—y -fa, en donnant à la quantité a une valeur telle , que la substitution dey+a dans

DU CALCUL DES INÉQUATIONS. 19.5 l 'équation rende tous ses coëfficiens positifs. Si les trois racines sont réelles, elles deviendront toutes trois négatives. Et si les coëfficiens étant tous positifs , elle contient des racines imaginaires qui , par leur composition , rendent tous les coëfficiens positifs , quoiqu'il y ait des valeurs positives dans l’équation , comme dans le dernier exemple, alors il faudra donner à la quantité a, dans la substitution de y + a , une valeur telle , que la concentration alternative puisse converger vers la racine.

Par exemple , si j’ai une équation composée des facteurs ( x — 3) (x — i) (ar-pa) ; en faisant x=y + 4, cette substitution donnera une équation dont les trois facteurs seront (y + i) (y + 3) (y-t-6) = o, et la quasi-valeur v qui correspondait à la première racine x = + 3, correspond à la première racine, qui est la plus petite x = — i. Et dans l’exemple cidessus, dont les deux facteurs sont (x + 3) (*• — a? 4- 5 ) = o , si je fais x =y + a , ils deviendront (y + 6 ) (y* + 2 y + 5) = o ou y3+8y*+ 17J+ 3o = 0 , et la valeur réelle de cette équation pourra se concentrer par la méthode alternative ci-dessus.

Je ne déterminerai pas quel est le minimum de la valeur qu’il faut donner à la quantité a

pour obtenir ces résultats ; cette détermination est parfaitement inutile. Et tout ce que je viens de dire ici relativement à la concentration de la grande quasi-valeur, n’a eu pour but que de développer les ressources du calcul des iuéquations. On voit que la méthode de la résolution en p , qui ne fait que la première partie du premier mode de solution , suffit pour résoudre toute espèce d’équations. Il en résulte seulement des discussions pour les différens cas , et des opérations de calcul dont on est dispensé dans le second mode de solution qu'on développera ei -après ; il ne restera plus à faire usage que de la loi de concentration (ioi) qui appartient aux équations dont les racines ont toutes le même signe.

Il reste à développer une autre loi invariable de concentration qui appartient aux équations dont les racines n’ont pas le même signe , et dont on fait usage dans le second mode de solution pour la concentration dans les équations qui contiennent des racines imaginaires; la voici :

107. Quand toutes les racine* sont positives en p ou négatives en x, excepté la première , sa quasi-valeur tt peut se concentrer par une série alternative et convergente si elle est la plus petite quasi-valeur en nombre , et quand.

DD CALCUD DES I HÈQ U ATIO NS. ttj

toutes les racines sont négatives en p ou positives en x , la quasi-valeur <P peut également se concentrer pourvu qu'elle soit aussi la plus petite en nombre.

Pour le faire voir , en reprenant les deux inéquations originelles pI>'ar, P<n ^Ja pre mière étant pronégative équivaut à pt— — <>■, en la rendant méta négative ; de sorte que n et ^ sont tous les deux trop grands, et par conséquent on a n^>Pp, à raison des deux facteurs. Cela posé dans l’équation Q=B — P p, comparée avec l’inéquation Q || B — n^, si on fait ressortir le signe négatif de v, on aura dans ce cas-ci , et par conséquent

p, = — >— ; (en faisant ressortir le

jd + n

signe de C et en considérant les termes de cette inéquation indépendamment de leur signe négatif) ; d’où p = — >kv qu’on peut encore exprimer par p, > — ( k <*). Ensuite de cette inéquation et de l’autre opposée p— — <v ou /;< — ('*), on en conclut cet ensemble de rapports d’inéquations métanégatives

Maintenant de pt =—>*«■ on a aussi P>*n, car si kv était intrinsèquement négatif, on au-

ia8 TRAITÉ ÉLEMEHTAI RK

rait p<A« , et par conséquent P>An , et en ne considérant ces deux quasi-valeurs que comme des nombres indépendamment de leur signe , puisque kv est trop petit, il faut que kn soit aussi trop petit de la même quantité , pour avoir n — A®- = A , comme on a P + p = A. A est la différence de P kp comme de A: n à A®- ; il s’ensuit que l’on a Ænw<Pp à raison de ses deux facteurs, d’où Q>B-|-An®-,

d’où pt = — <

B + in»

ou px — — < A *•.

Ensuite de cette dernière inéquation que je fais — (A-®-) , et de la précédente — (As-)

on obtient

Pt P. P,

En continuant le même raisonnement pour les termes suivans , on aura une série alternative de concentration ; c’est à-dire que tous les termes iront alternativement en-deçà et au-delà de la valeur de la racine px. J’exprimerai cette série de la manière suivante , en mettant hors de la parenthèse commune le signe négatif de tous les termes qu^on a fait ressortir de leur valeur intrinsèque^ et qu’on a rendus métanégatifs :

ÇU CALCtJL DÏS INEQUATIONS. 129

Cette série se décompose en ces deux parties ,

— (*<^k'x<^k"'x<Zkv*r, etc.) — (jhr^#V>£Ivir^>£TI«r, etc.)

Or maintenant ces deux parties , ou plutôt ces deux séries, sont les mêmes que les deux opposées en t et -r ( 87' et 88 ) , dans lesquelles on aurait supprimé tous les termes intermérdiaires ; or ces deux séries n’en seraient pas moins convergentes vers la petite racine , si t et ter étaient des quasi-valeurs , les plus petites de l’équation ; il en est de même de celles-ci ; c’est-à-dire qu’on a alors deux séries convergentes de concentration , l’une au-dessus de la valeur de la racine et l’autne au-dessous.

Si toutes les racines étaient négatives en p, excepté la dernière qui correspond à 9, on ferait le même' raisonnement pour la concentration de 9 que celui qu’on a fait pour celle de a-; c’est-à-dire qu’on n’aurait une série de concentration alternative et convergente qu’autant que 9 serait la plus petite des quasi-vâleurs de l’équation.

10g. Il est aise de connaître quand l’un ou l’autre de ces deux cas ont lieu par la forme de l’équation proposée ou par la nature de ses coëfficiens. Je commence par la quasi- valeur a-.

l30 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE *

Si cette quasi-valeur, qui est la plus petite, est seule négative en p , il faudra d’abord que le coefficient A qui exprime la somme des racines soit positif. Je dis que B doit l’être également. Car 4> qui contient la somme des quasi-valeurs des plus petites racines doit alors être positif ;

A — V/Ât^"3B , or , son expression est = . Il

faut donc que l’on ait A>v/A* — 3B, d’où o> — 3 B ou B>o. Quant au coefficient C, comme il n’y a qu’une seule racine négative en p, il doit être négatif. Donc lorsque la proposée aura la forme x’-f- Ax4-f-Bx — C = o, il faudra conclure qu'elle n’a qu’une racine positive en x , qui est la première, et qu’elle est susceptible de concentration.

Si' l'on fait maintenant x =i — y , on aura l’équation y 3 — Ajy4-{-By+C =o. Dans ce cas, la quasi-valeur ■=• deviendra p, qui sera la seule quasi-valeur positive en p , ou négative en x , et elle sera la plus petite des quasi-valeurs. Donc lorsque la proposée aura la forme

x3 — A x* + Bæ + C = o,

il faudra conclure que p est la plus petite quasi -valeur en nombre , et qu’elle est par conséquent susceptible de concentration.