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v-ir.
et en effectuant cçs deux quasi - valeurs , on
devrait avoir
7 1 nh iioi:
•=*r->£*r-AS à-K-nx,
*=-<j*+\s 'JK-t
•b ?o ii n
n noi
Il en est de meme pour la resolution de l me-
quation en n.
Cependant , dans la double formule ci-
ÏMJ CALCUL UES INÉQUATIONS. iSÿ
dessus , on . a transporté le signe négatif de l’autre côté du signe d’inéquation , sans en changer la direction, comme on l’a fait pour la troisième racine x — — < <p , et comme le prescrit la théorie. Pour en développer la raison , je considère les deux équations du deuxième degré ,
** + Ar + B = o et ï* — A* + B = o ;
dont la première a ses racines négatives, et la deuxième ses racines^ positives : on a , pour l’une et l’autre , également cetté solùtion :
* = — — B et jr ==£ A=fc V ^A* — B,
c’est-à-dire que dans ces deux solutions on employé le double signe ± de la même manière ; il faudra l’employer ainsi t
*= — ;Aq=|// ~ — B et x=jAd=.\Z ia* — B-
Cette distinction , dans 'les équations , paraît absolument inutile, elle présente même une futilité insignifiante ; mais il n’en est pas de même dans le calcul dés inéquations , le signe d’inéquation fait tuie différence entre =fc et =$=; et je dis que , ipD'ùr fâ résolution de l’iriéqua-
tion x*+ $x + t-<^o > dont les deux racines
sont négatives parlà forme de luaéqutUibn , il
i38 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE «.
faut employer le signe double de manière que l’on ait
et en effectuant on aura
Ce qui donne aux quasi-valéurs une direction d’inéquation qui est la même que celle qu’on a mise dans la double formule (i i a) , et qui est contraire à celle qu’on aurait si l’on employait le double signe ±, comme quand les racines sont positives.
Il 5. Pour le démontrer, je suppose que l’équation proposée ait ses trois racines positives et qu?elle ait en conséquence la forme
* A-r* + Bar— Q=0.
Je la décompose également en deux facteurs, qui aurontcette formel — Pa?+ Q)'(r — p)=°- En la traitant comme la précédente , j’aurai également À ==P+ p , B = Q-fPp, C = PQ(&o).
J’aurai dope pour les quasi-valeurs originelles
DU CALCUL DES INÉQUATIONS. l3g
les mêmes expressions p >• ir , p < <p , etc. elles naîtront de même primitivement de l’équation p3 — A pa 4- Bp — C = o , abaissée au deuxième degré par l’inéquation Q < jP*. Cela posé, pour résoudre d’abord en fonctions de * l’équation
x% — V jc + Q = o ,
p=îl±5:) «j'où (*<îl±5
lu puis ( Q > <t>x — x' ;
d’un autre côté- j’ai Q >■ — .
Comme ces deux inéquations de Q sont dans la même direction , je ne puis pas voir immédiatement quelle est la direction du signe
d’inéquation entre — et ® x — x%. Pour la
connaître, j’établis d’abord l’inéquation incer-
taine.
ii'J .
jfv**— **,
.... .. • • •••..! jG; ,■;! ■ . . iv. >
ou bien - || i p($ — x) ;
» ‘ÎT. — V, *■
je transforme ain^i - j( (p, + z)(P — z—x) j
en multipliant ... — |J pj(P— *r)+(P— p, — x — *)*■
140 TRAITÉ ÉLÉMEWTAIRE
J’observe que P — z ayant été mis à la place de <t , on a P =p, + p, , d’où l’inéquation devient
je mets <p pour p, -fs, j’ai
"Il P, (P — X) + P, +Pl—X—<P)Z,
comme x—pt ou pt-
si x —pty on a |C II /7, ( P ^)+(P, — 9) Z y
si x = ph y on a
- llp,(p—x)+(p.—v)z’
Je compare ces deux inéquations avec l’équation
or on a pt— p<o ejt,jp.«rr? <Q , donc. ;;
~>P>(P X) + (P> +Pl X — <p)z,t;l
donc , en remontant à la première inéquation ,
m ■ i*s i ;• » U'iilili #
on obtient de*là l’inéquation du deuxième degré
— t— n ; ic* ^ — * æ- H — >0}
ii »
SU CALCUL DES INÉQUATIONS. l/|I
ll6. D’où l’oa a •
Ces deux directions sont les mêmes que celles des mêmes quasi -valeurs de la double formule^ 12), considérées comme métanégati ves ; et comme ces deux dernières, directions sont celles qui appartiennent aux quasi -valeurs positives , elles conviennent donc également
aux quasi- valeurs de l’inéquation or’ + <bx q — ,
qui ne diffère de celle-ci que parce que ses racines sont négatives, lorsqu’on considère le
damment de leur signe , ou lorsqu’on les fait métanégatives.
Il a donc fallu dans la résolution de l’iné-
quation * x -{ — <0 prendre le double
signe et non pas ±. Pour avoir d’abord
et pour obtenir en quasi-valeurs métanégatives
rapport d’inéquation de ces racines indépen-
tp
les mêmes directions que celles qu'on obtient pour les quasi-valeurs positives.
liy. Pour voir comment cela doit avoir lieu, je compare les deux quasi-valeurs de Q , celle desx positifs et celle des x négatifs avec l’équation Q = P jt — ar*; je vois d'abord évidemment que celle des x positifs Q>«t>.r — x 1 a la direction qui lui convient à cause de P>«i>. Quant à celle des x négatifs Q< — <t>x — x *, le second membre de cette inéquation, en substituant la valeur de x négatif, fait une quantité égale au deuxième membre <t>x — a* de l'inéquation des x positifs, mais alors sa direction est fausse. Je compare ensuite les deux inéquations
que je transforme en
On voit que ces deux inéquations ayant leurs deux membres positifs quand les racines sont réelles , et les deuxièmes membres étant les
DU CALCUL DES INEQUATIONS. l43
mêmes, si la direction d’inéquation est vraie dans la première , il faut qu’elle soit fausse dans la deuxième.
Mais d’un autre côté si (x — j<j>) est une quantité positive , il faut que (jr soit une quantité négative ; ainsi la deuxième inéquation n’a une direction fausse que parce qu’à sa racine elle a une direction vraie. C’est le cas de — 4<C — 3 qui donne au quarré
Il8. Mais si au lieu de considérer l’origine du quarré j’extrais sa racine comme s’il était produit par une racine positive , en employant le signe double ± , il en résulterait par cela même l’effectuation du signe d’inéquation, et j’aurais immédiatement la direction des quasi- valeurs négatives effectuées, ou des quasi-valeurs métanégatives. Ainsi, quel que soit le signe des racines de l’équation proposée x3 + A .r* -4- Bjr +C = o, en résolvant toujours l’inéquation du deuxième degré
x*.4- ^x — avec le double signe =b, on aura <P
dans tous les cas immédiatement la direction qui convient aux quasi-valeurs; si elles sont positives, le double signe ± leur convient directement, et si elles sont négatives , l’emploi de ce même double signe les effectue. On peut donc dire que les quasi -valeurs en x sont
l/,4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
métanégatives. Mais alors on se sert d’une expression abrégée, elles ne le sont que par un résultat d’opérations qu’on n’indique pas , c’est ainsi qu’en algèbre on dit par abrégé , moins par moins donne plus.
Dans cette discussion , je ne me suis pas occupé de la résolution de l’inéquation
c . , x* ^ a# -j — >o,on en va voir la raison.
119. Je reviens maintenant à la double formule (112); que signifient ses six quasivaleurs, tandis que la proposée n’a que trois racines ? J’observe que l'équation proposée x3 4- A x* + B* + C = o , doit être considérée sous deux points de vue : i°. on peut considérer que ses coëfficiens sont tous intrinsèquement positifs, et que par conséquent elle est déterminée à avoir ses trois racines négatives ; 20. on peut la considérer sous un point de vue plus général, en regardant ses coëfficiens comme susceptibles d’avoir une valeur intrinsèque quelconque , négative ou positive : sous ce deuxième point de vue l’équation peut appartenir à toute espèce de racines.
Je ne l’ai considérée jusqu’alors que sous le premier point de vue , je continue encore de la considérer de même. J’observe mainte*
