ST
est imaginaire ; car si à la place de ^ n* je mets
sa valeur B — n ■» (5g) = B — A ■zr 4- ; ce ra-
•. I / -ar3 — A-sr* -f- B •a- — C dical deviendra J/ ;
expression qui est imaginaire toutes les fois que les racines de la proposée sont réelles; car on a alors v3— A«* + B*r — C<o ^69) ; tandis que le
radical
de l’expression en p est toujours réel quand les trois racines le sont (69).
En comparant maintenant le grand radical de l’inéquation en ® avec celui-ci , et substituant , dans l’un et l’autre , leurs valeurs en coëfficiens, j’ai pour l’inéquation en c> ,
1 / — aÀ3 + qAB — 27'C'f' 2 y/ (A* — 3 B)3
A + 2 y/ Aa — 3B pour l’inéquation en n ,
2 v J — 2A3+9AB— 27c —2 y/ (A1— 3 B/
i/,6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
Je remarque maintenant qu’en multipliant les deux numérateurs de ces radicaux , l’un par l’autre , j’aurai l’inéquation générale déjà trouvée ci-dessus (71) :
4A3C — A1B1 — 18ABC+4B3 + 27C*<o; et si je fais A — o, le produit des deux radicaux deviendra
^xl^AA' + jcr.
Ce radical est le même que celui qu’on obtient en résolvant les équations du troisième degré (10) r par les méthodes connues.
On voit déjà , par ce résultat , que les inéquations en * et en n renferment les fonctions qui , par leur composition , forment les expressions imaginaires du cas irréductible. Ainsi l’on voit que le calcul des inéquations est la “ vraie méthode de la décomposition algébrique : toute la suite le fera voir encore.
120. Il ne faut pas confondre ces quasivaleurs de l’inéquation en n, qui n’ont que la forme imaginaire , avec les quasi-valeurs imaginaires qui appartiennent à l’équation , et qui naissent de la relation de ses coëfficiens : le calcul des inéquations les distingue toujours comme on le verra. Comme ces quasi-valeurs de l’inéquation en n constituent le cas irré-
DO CALCUL DES INÉQUATIONS. ik’J
ductible, je les appellerai quasi-valeurs irréductibles.
En traduisant la double formule -(i 12) en valeurs de coëfficiens, faisant comme ci-dessus A* — 3B = r, et la relation rationnelle des trois coëfficiens — 2 A3 + g AB — 27C = lÿC, et omettant le signe = entre x et le signe d’inëquation , la double formule devièndra
