Quasi-valeurs en

Quasi- valeurs en n ,

En comparant ces formules avec celle du

deuxième degré ,

x~ — jA±y/ A2 — 3 B,

on voit qu’elles suivent la même loi. D’abord si toutes les racines sont égales , la partie rationnelle — y A est la seule qui reste, toutes

l.jS TRillï ELEMENTAIRE

les quantités affectées de radicaux s’évanouissent ; elles servent , comme dans le deuxième degré, à déterminer 1 inégalité des racines. On peut remarquer que le grand radical contient une fonction du radical du terme précédent, combinée avec une relation rationnelle de coëfficiens qui devient séparément = o quand les racines sont égales. Il en sera de même des quasi-valeurs des racines appartenant à une équation d’un degré quelconque ; elles seront composées d’abord d’un premier terme rationnel — A, pour le degré m; puis d’une suite rn

de radicaux du deuxième degré , dont chacun contiendra une fonction de radicaux des termes précédens ; de sorte qu’elles ne présenteront qu’une suite de racines quarrées à extraire.

12 2. En remontant maintenant à l’origine de la séparation de ces six quasi - valeurs , la résolution de l’équation en p sépare d’abord deux quasi-valeurs ■s- et p, qui sont les deux limites extrêmes de l’équation , l'une en-deçà de la plus petite racine, et l’autre au-delà de la plus grande ; et en deux autres paires de quasi-valeurs n et 4>. Des deux limites -sr et $ , il n’y aqjiela quasi-valeur ■a- qui soit susceptible de converger invariablement vers la valeur de la petite racine par une série de concentration ;

nu cat, cul nus inéquations. i 40 l’autre ne se concentre que dans certains cas , et ne peut pas , par conséquent , entrer dans les formules générales de solution.

De même , les deux paires de quasi-valeurs * et n » étant séparées par la résolution de l’équation x' + P# + Q = o, il n’y a des quatre quasi-valeurs, qui en résultent, que la petite

quasi-valeur x, — <i* — qui

forme une autre limite opposée de la petite racine , et qui peut y converger invariablement par la concentration.

D’abord c’est celle des deux quasi-valeurs en $ dont la latitude est la plus petite , oü qui approche le plus près de sa racine correspondante. En effet , la somme des deux raèincs

de l’inéquation x*+ *x -| — = o , qui est ==$,

est plus petite que la somme des deux plus petites racines de la proposée , à cause de P^> ;

or , par la résolution de cette inéquation , la plus petite de ces deux quasi-valeurs se trouve plus grande que la plus petite racine de la pro-

posée, puisqu’on a *, — <7$ — V '

il faut donc que l’expression de la déükiêfHe

— >7* + s’éloigne de

i5o traitA Alimentaire

non-seulement à raison de P > * , mais encore à raison de ce que la petite quasi-valeur a pris pour dépasser la première racine xt : de sorte que sa latitude est composée de deux élémens , tandis que la petite quasi-valeur ne surpasse sa racine que par la différence de ces deux élémens. La deuxième quasi-valeur a donc un principe de divergence. Les deux autres quasivaleurs en n , qui sont irréductibles par leur forme imaginaire, sont encore moins susceptibles d’entrer dans les formules de solution. Il faut donc regarder la quasi - valeur de ar, comme une autre limite convergente de l’équation , et qui a été rapprochée de la valeur de sa racine , par les opérations d’inéquation , comme l’autre limite p^> k v. Je forme avee ces deux limites opposées la formule

Formule

de solation des racines négatives.

Je l’appelle formule de solution , par opposition à toutes les précédentes qui ne sont que des formules purement théoriques , par le moyen desquelles je suis parvenu à extraire celle-ci. Ses deux limites sont les seules qui puissent se concentrer par une série invariable

T)V CALCUL DSS INÉQUATIONS. l5î de concentration, et aboutir, par deux directions opposées , à la valeur de la première racine : on peut voir combien il est facile d y parvenir par les méthodes de concentration développées ci-dessus.

Si je prends les deux autres limites de l’équation , j’aurai cette autre formule,

Ces deux limites , lorsque les coëfficiens de la proposée sont i intrinsèquement positifs , sont réfractaires à la solution , je l’appelle formule divergente ou irréductible : j’en ferai usage ci - après :

125. Je considère maintenant l’équation rc3 + Aar* + Ba: + G=o sous son point de. vue le plus général , tel que les coëfficiens puissent avoir une valeur quelconque, positive ou négative , et je considère d’abord le cas où toutes les racines sont positives; c’est-à-dire le cas où les coëfficiens sont alternativement positifs et négatifs. Cela posé , je reprends les deux

inéquations

ions <

+ rrx+ - >o.

l5a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Si les valeurs de x sont négatives , la première de ces deux inéquations donne deux quasi-valeurs réductibles , et la deuxième deux quasi-valeurs irréductibles ; mais si les racines sont toutes positives , alors * devient — ri (55)

en faisant ressortir le signe négatif de A , et -

devient - en faisant également ressortir lesigne

de C : le changement contraire a lieu dans la deuxième inéquation ; on aura donc cette transformation :

x' — nx + -<o.

On voit que , dans ce cas , l’expression en ri ©est plus irréductible , mais qu’elle convient au cas où toutes les racines sont positives ; et qu’au contraire alors , c’est l’inéquation en * qui devient irréductible , en appliquant cette transformation à la double formule (m),ona

nxH — ^>o |