TT
11 faut remarquer que dans cette dernière formule on n’a pas fait ressortir le signe négatif des quantités dans la seconde limite , car elle serait devenue la même que la première. Ce n’est que dans la colonne à droite de la formule précédente qu’on les a fait ressortir.
Cette double formule de solution pour les racines du même signe est la seule dont on fera usage dans le deuxième mode de solution ; elle servira , comme on le verra , à résoudre toutes les équations du troisième degré, quel que soit le signe de leurs différentes racines , sans leur faire subir aucune préparation préalable.
Il n’est cependant pas inutile, pour le développementde la théorie, d’appliquer la formule
DU CALCUL UES IUÉQ U ATI OWS. I 55
des six quasi-valeurs aux équations dont les racines sont indifféremment négatives ou positives. Je dispose ces six quasi-valeurs en trois paires de limites de cette manière
<?n 4- in* —
tr
1 29. Il faut remarquer que s’il y a seulement une racine positive, ce sera évidemment celle de x, ; p, sera négatif, et par conséquent sa quasi-valeur v sera négative. S’il y a deux racines positives, ce sera x , et x%, et il est clair que la quasi-valeur de xt sera plus grande en nombre que celle dé x%) car l’expression de
la première ^ j k —
aura, un
résultat négatif évidemment plus grand en
nombre que l’expression ^ ^
île la deuxième ; pt et p% seront négatifs , jf7? restera positif ainsi que sa quasi-valeuf ? , qui ne deviendra négative que lorsque les trois racines seront positives et elle sera alors la plus petite en nombre. De sorte que l’ordre des valeurs des racines dans l’équation en p et dans l’équation en x sera selon ces deux suites
Equations en p, — 5, — 4, — 3, — a, — 1,0,4-1 + 24-3+4, etc..
Equations en x , +5 +4 +3 +a +1,0 — 1 — 2 — 3 — 4, etc..
l5o. C’est sur celte formule qu’en a calculé les différens exemples du tableau ; on peut voir que toutes les applications sont conformes à la théorie qu’on a développée. Il ne s’agit ici que des équations dont toutes les racines sont réelles. Voici ce qu’on y remarque :
i°. Dans les sept premiers exemples,. dont toutes les racines sont négatives, la première racine .t, est entre les deux limites opposées
a0. Les quasi-valeurs en fonctions de ® des. racines a?, et xt ont une forme réelle avec la direction déterminée (124) > e* les quasi-valeurs de xt et ar, en fonctions de n ont une forme ^imaginaire à l’exception des exemples 6 et 7 t
cela vient de ce que la valeur de , qui est le dénominateur de grand radical* est négative; mais ces quasi-valeurs ont une* très-grande divergence qui les rend aussi peu propres à donner une formule de solution que les précédentes qui ont la forme imaginaire. Elles ont néanmoins la direction d’iuéquation qui leur convient,
3°. Dans l’exemple sixième, les deux quasivaleurs de l’inéquation en ® donnent exactement des valeurs des deqx racines égales, qui sont les deux plus petites = i, et dans l’exemple septième , ce sont les deux quasi-valeurs de l’inéquation en n qui donnent exactement les deux racines égales qui sont les deux plus grandes = io; c’est une suite nécessaire de ce qu’on a vu plus haut (85), car si dans le sixième exemple la valeur de ç a donné exactement la racine inégale == 20, il est nécessaire que contienne exactement la somme des deux racines égales , et que par conséquent
-<t>* soit
par la même raison
on voit que dans l’exemple septième, n doit contenir exactement la somme des deux racines égales, qui sont les deux plus grandes.
et l’on doit avoir
l58 TRAITÉ -ÉLÉMIÎNTAI RE
4°. L’exemple huitième est précise'ment l’inverse de l’exemple premier. C’est la valeur de x , , qui est entre les deux limites opposées
et réelles <p et j ri +
-, qui sont les
*Zf
mêmes que les deux limites opposées de x, , et ce sont les quasi-valeurs en o qui ont la forme imaginaire. Ainsi les exemples premier et huitième confirment la double formule de solution aux racines de même signe (127).
5°. Dans les exemples suivans, où les racines sont de différens signes, les quasi-valeurs de l’inéquation en n ont la forme réelle ; cela vient encore du dénominateur <a du grand radical qui est négatif.
6°. Dans les exemples dixième et douzième, qui n’ont qu’une racine positive, cette racine appartient aux deux limites de xt , et dans les exemples neuvième et onzième, qui ont deux racines positives, les deux limites dear, , appartiennent à la plus grande en nombre des deux.
70. Toutes les quasi- valeurs du tableau qui proviennent des inéquations en n et en <i> ont constamment la même direction, soit qu’elles expriment des valeurs négatives ou positives. On en a vu la raison (u6) (118). Il n’en est pas de même des quasi-valeurs de «■ et de <p ; toutes celles qui sont négatives et appar-
BU CALCUL DES INÉQUATIONS. 1 5g tiennent en conse'quence à des racines positives en x , ont été effectuées en changeant leur signe d’inéquation. Voilà pourquoi la valeur x, , de l’exemple huitième, se trouve entre deux limites de direction opposée, quoiqu’elle appartienne dans la double formule de solution (127) à deux quasi-valeurs qui ont la même direction , savoir :
<ïn+K in‘— '
v ' HT
parce que dans cette formule la valeur de <p, qui est intrinsèquement négative, n’est pas effectuée ; tandis qu’elle est effectuée dans
l’exemple du tableau où l’on a x, f '•>°,^453 1 ?{<i,o3g.
l3l. Il s’agit maintenant d’appliquer ces formules aux équations qui contiennent des racines imaginaires. Il faut distinguer deux cas comme ci-dessus, i°. quand le radical originel \/T est réel ; 2°. quand il est imaginaire. Premier cas, comme il n’y a alors que l’une des deux quasi-valeurs ■u ou <p qui puisse appartenir à la paire de raôines imaginaires (76), ce cas se subdivise en deux autres :
SC — 2rl/ r> o SC + 2 rV r>o;
i°. Sip, est réel, on a (80) |
1 6o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
mais ces deux quantités forment l’expression du grand radical dans les quasi- valeurs de l’inéquation en <t> et en ri ; toutes ces quatre quasi-valeurs auront donc une forme réelle. Ainsi x, , qui est la racine réelle , aura ses deux limites ou ses deux quasi-valeurs exprimées en quantités réelles comme cela doit être ; mais les deux autres racines xt et x, , qui sont imaginaires , auront également leurs quasi-valeurs exprimées en quantités réelles. Ainsi , dans ce cas, les quasi- valeurs de la formule seront toutes réelles, à moins que le dénominateur du grand radical qui appartient à l’inéquation en ri , ne soit négatif.
„ , /0 . f tÿC — 2rt/r<°.
2 • S.Pl est reel , on a (80) J 5C+ 2r(/-<0’
dans ce cas, le grand radical des quasi- valeurs en et en n est imaginaire ; d’après cela les deux racines imaginaires x, et x, auront l’expression imaginaire qui leur convient , mais x5 aura aussi une expression imaginaire quoique réel. Ainsi , dans ces deux cas, les quasivaleurs réductibles en 0 ont la forme qui convient à leur racine, et les quasi-valeurs irréductibles en n ont une forme contraire.
Ce résultat prouve encore que les deux inéquations en & et en ri décomposent le cas irréductible ; en effet, si je multiplie dans le cas
DD CALCUL DES INÉQUATIONS. )6l
des racines imaginaines les expressions qui composent les deux grands radicaux, savoir : SC — ar V r par 6’C + 2 r V r , j’aurai un produit positif; j’aurai l’inéquation générale cidessus (71), avec le signe >0, parce qoe ces deux quantités sont à-la-fois ou toutes les deux positives ou toutes les deux négatives , ce produit, au contraire, est négatif toutes les fois que les racines sont réelles , comme on l’a déjà vu. Ainsi, dans tous les cas, ou aboutit à une expression conforme au cas irréductible V iy; B3 -J- ^ C* , et qui indique comme celle-ci les cas où les racines sont réelles et ceux où elles sont imaginaires.
l3a. Quant à la direction des quasi-valeurs, quand jr, est réel , on a déjà vu que w seul
change de direction et que l’on
, par
conséquent l’on aP>t>, d’où il suit que l’expression de la première racine qui naît de l’inéquation en * ne doit pas changer de direction et que par conséquent l’on doit avoir pour la première racine ou pour les limites réductibles de l’équation
<d 1 tr
Quant aux deux racines imaginaires , elles appartiennent à la limite irréductible de l’équation, et elLes ont en conséquence une forme contraire à celle qu’elles doivent avoir.
Je ferai tomber le signe d’inéquation sur les deux limites *■ et qui appartiennent à la partie réelle de celle paire de racine ; et comme cette partie est la même pour les deux et qu’on
a d’ailleurs (84) pt et p. j , j’exprimerai la paire déracinés imaginaires de cette manière
Quand p, est réel , il n’y a que la quasivaleur <f qui change de direction , l’on a p> v et p> <p- Alors les quasi-valeurs de l'inéquation en n ne changent pas de direction , et l'on a pour la racine réelle
<Tn +
mais la dernière de ces deux limites est irréductible et a une forme contraire à celle qui lui convient.
Pour les deux racines imaginaires , leurs quasi-valeurs ont la forme qui leur convient. J’appliquerai, comme d'ans le premier cas, le
DU GADCUt DES ÎSiQÜATlONS.
signe d’inéquation qui appartient à leur parti? réelle, et j’-aurai
f, et xt — ] ^ ±4, ‘ «' M4i
en résumant on a la double formule
l35. f®C+2rV^r>o Quand
J<C‘ bw. ni) •.
Mi»
jsC 2rVÇ>o J —
1 *, réel/**—
■■ -îiiuq -s ■•[* '! J
|5C+3rV^<o;Ci f>»j ,/
Qmnd|5G 2rVç<oLa \<yh\^r
