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’,rtzy^vï^

l34; Je viens maintenant an eas où le rddical orïgihèl est imaginaire , ; alors toutes tés expressions de p et de x sont énibarrassééS de quantités imaginaires , le grand radtéal des quasi-valeurs de x conjîuqt une fonction dq quantités en partie réelles et en partie imagi- • naires. Voyons malgré delà' comment on- peut démêler les quas^- valeurs qui .appartieuneo# à la rar-ne réelle de celles qui appartiennent^ à la paire de racines imaginaires. La manière*

dont on résout ces espèces d’équations dans la résolution en pl est assez simple, voyez cidessus (io4) , (io5), (106), et c’est à cette méthode qu’il faut toujours s’en tenir pour les opérations du calcul. Dans ce *que j’ai à dire, je n’ai pour but que de développer la théorie du calcul.

Je réduis d’abord au même dénominateur les expressions des deux grands radicaux des quatre quasi-valeurs des deux inéquations en * et en n. Comme j’ai fait ressortir le signe néga- . tif de r pour avoir \T—r , j’ai

ïS *♦'£=/ ]/ ASC— 4r--3(Ar+SC)V/— r /— ^

J/’ J/" JC-faV-A

\ A — iÿ — r / 5(4®— A')

Maintenant , je dis que ces quatre quasivaleurs doivent être disposées de la manière suivante. J’emploie ici simplement le signe || pour éviter toute discussion relativement au signe d’inéquation.

1 ÛO.J ■ I

ri — Il r (a yf* r /•+• Ÿ a ) [ .

P,— Il f (A — yfr+Ÿ f— V — *)| | jx, — **■ — 5.

'.~IIt(a + V~r+V f+v~~h^ Nx'-din^-V^ in’—

1)U CALCUt DES INEQUATIONS. l65 En effet, «■ appartenant à une racine imaginaire, il est nécessaire que l’inéquation en rr, qui contient les deux autres racines , renferme l’autre racine imaginaire avec la racine réelle. Pareillement <p appartenant à l’autre racine imaginaire , il est nécessaire que l’inéquation en * renferme une racine imaginaire et une racine réelle. Il est donc nécessaire d’appareiller une quasi-valeur en 4> avec une quasivaleur en rr ; alors c’est l’une de ces deux paires qui contient les deux imaginaires, et l’autre deux fois la quasi-valeur de la racine réelle.

En outre , des racines imaginaires ne peuvent se trouver dans une équation que par paires et sous cette forme x — a+.bV — i , x = a — bV — i ; il faut donc que leur partie réelle soit égale dans l’une et dans l’autre, et que la partie imaginaire soit aussi égale et ne diffère que par le signe, par conséquent les deux quasi-valeurs de l’inéquation en $ , par exemple, ne peuvent pas former une paire de racines imaginaires, parce que l’expression [/ — r s’y trouve avec le même signe dans toutes les deux. Il en est de même de l’inéquation en n, on ne peut pas non plus former une paire de racines imaginaires avec x, et x5 , elles auraient alors leur partie réelle et leur partie imaginaire inégale , comme on va le voir :

i66 riMÉBCESTAl UK

Je fais j’élève au

quarré les fieux membres; je fais une première équation entre les parties rationnelles des deux membres , et une deuxième entre les parties ' irrationnelles; j’obtiens par ce moyen la valeur

de Vf ± V— h Par ces deux formules :

x36. y/f+v'—h—y/ \f+WP^h + V' ïf—kVf^P*-

y/f-çrn lf+>y if-VW+ï-

Dans ces deux formules , le premier radical est nécessairement réel et l’autre imaginaire , et le radical intérieur est toujours réel quand les racines sont imaginaires. Celui qui appartient à l'inéquation en o a pour coefficient de son radical interne — 2(Ar + *ÏC) , et celui qui appartient à l’inéquation en ri a pour Coefficient de ce même radical interne a(Ar + *SC) } ainsi V /— ~\/% appartient au premier et

*//+ V=h au deuxième, en supposant que l’on ait Ar + *SC>0. Cela posé, les quatre quasi-valeurs ci-dessus deviennent

1 en * | x,— 1| ;(a— t/^7— V \f+\V f‘+h + V^ 7f—ïVf‘

)ennU,-|| ;(a+v/~— V I/+ w7^ - / '/- 'tVT^V) - ^ ien «■ f 1| |(a— V \f+\Vf -*-h—V\f—\\/f’+h) • ( ennUj-n ;(a+v/“-+- V i/+ ; VT1^ + V ; VF+ÏÏ • i°. Il n’y a que cette disposition qui puisse former deux paires de racines imaginaires.

Dü CALCUL DES ïfflÊQTTATIONS. 167 a0. Dans v et <p tout le principe de l’inégalité des racines est imaginaire, et j’observe que la deuxième de ces deux paires de quasivaleurs a pour quantité imaginaire la somme

des deux radicaux V — r + { y f%+ ht

et la première n’a que la différence de ces deux radicaux. C’est donc la deuxième paire de ces quasi-valeurs qui convient aux deux racines imaginaires de l’équation. Quant à la racine réelle, je l’obtiendrai, ou bien en prenant la moitié de la somme de la première paire des quasi- valeurs , ou bien en faisant x, — 1| A — x, — x? ; j’aurai dans les deux cas pour la racine réelle une expression dégagée de toute quantité imaginaire. On aura donc pour les trois racines, en prenant pour x , la quasi-valeur A — xt — -x}

l38. Pour la racine réelle,

*. “ Il i ( A ■ - 2 V'V* i Vfr^~h.

Pour les imaginaires,

Maintenant, si j’ai Ar + »SC<Co, le coefficient du radical intérieur — (Ar + iSC), qui appartient au grand radical de l’inéquation en 4> , se trouvera positif et l’autre sera négatif; alors V f + y/ — h devient V f — y' — h

l68 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

et Vf— y — g devient V f -j- y' — g ; il faudra donc appliquer les deux formules (i36) dans un ordre inverse de celui du cas précédent , et j’aurai

, ( *” *f r, 11 1( K-V^r-V \f+ v/r^- V\f-Wr

A/i-jc<o) e”n(x-n ;(a +V^r-V :•/+ ; VT7^^ V :/- w/f^) •

1 en«( x,— U t(a — V — T+V !if+lV7r+h+V hf—h\/f‘ -*-A)>

■ en n ) x,- H ;(A-f-v/^4- V r/+ Vif-i^r^O *

Dans ce cas-ci , c’est la première paire des quasi-valeurs qui a la somme de ses radicaux imaginaires avec des signes contraires dans chacune des deux quasi- valeurs de x, elle appartient donc à la paire de racines imaginaires de la proposée, et l’on a alors, en opérant comme dans le premier cas ,

l4o. Pour les deux imaginaires, t\- || }(a- V'J+'Vf^) qr j(l/ “+ Vif-'VTÏT . Pour la racine réelle ,

On voit que dans le premier cas c’est la petite racine qui est réelle et la grande racine dans le deuxième.

En donnant maintenant la direction qui convient aux quasi-valeurs de la racine réelle , et aux parties réelles des deux imaginaires , en

OU CAUCUU DES INÉQUATIONS. 169

réunissant de plus les limites de la résolution de l’équation en p , on a cette double formule

l42. Les exemples du tableau, depuis le treizième jusqu’au dix-neuvième, confirment tout ce que l’on vient de dire sur la résolution des équations qui contiennent des imaginaires. Les exemples depuis le treizième jusqu’au seizième sont des équations dans lesquelles » et <p sont réels, et dans les suivans le radical originel est imaginaire.

i°. Dans le treizième on a *SC=f:2r V r <o, et la grande racine est conséquemment la réelle ; alors les quasi -valeurs qui proviennent des deux inéquations en 4> et en ri ont la forme imaginaire aussi bien pour la racine réelle x j que pour les deux imaginaires. Il en est de même du quinzième exemple, on voit en

même temps que la partie réelle des deux racines imaginaires est entre ^et £ $, ainsi que dans les exemples suivans.

20. Dans l’exemple quatorzième, où la petite racine ( = 1 ) est réelle , et où l’on a par conséquent r (/ r > o , toutes les quasi-

valeurs ont la forme réelle. On a pour la racine réelle la double limite dans le même sens

. Quant aux deux racines îma-

<i,iaa

ginaires , j’ai exprimé leur valeur de cette manière *• - ( ^ i/TÏTTÎ. En

distinguant la valeur du grand radical V 1 3, i3 qui devrait être imaginaire, des deux limites opposées <p et {• n qui sont réelles de leur nature, et qui ont ici une direction opposée.

3°. On peut observer que les trois exemples i3, 14, i5 ont la forme qui leur convient. Dans l’exemple seizième, la première racine étant réelle , a sa quasi -valeur sous forme réelle; cela vient de ce que dans cet exemple la quasi-valeur *• est négative , c’est la même raison qui fait que quand les racines sont toutes réelles et de différens signes, le grand radical en fonctions de n et de *• ont la forme

réelle à cause du dénominateur «■ qui est alors négatif.

no CALCUL OES ÏKÉQUATIOKS. 171

J 43. Maintenant, quant à l’application de la résolution des équations dont le radical originel est imaginaire , ou voit que dans les exemples dont on, a çalculé les quasi-valeurs, leur séparation et leur direction est conforme à la théorie qu’on vient de développer, Au reste, ces formules ne servent point dans le calcul , le deuxième mode de solution en donne de plus simples avec des quasi-valeurs plus rapprochées, et en général tout ce que l’on a dit dans ce premier mode de solution n’a eu pour but que le développement de la théorie de ce calcul. Il ne sert en quelque sorte que d’introduction au deuxième mode de solution qui est la vraie méthode de résolution pour la pratique du calcul par la simplicité et la généralité de ses formules, comme on le verra.

1 44. On peut observer que ce premier mode de solution ne résout généralement une équation quelconque qu’autant que toutes ses racines sont du même signe ; car si elles sont de signe différent, on n’a plus de méthode générale de concentration. Néanmoins ce mode suffit pour résoudre toute espèce d’équation quel que soit le signe de ses racines, il suffit pour cela de la préparer de manière qu’elle ait toutes ses racines de même signe : ce qui est toujours possible.

tfondc'frT Quoique les racines soient du même

J^-signe, la méthode de concentration ne peut pas conduire à la valeur exacte de la partie réelle des racines imaginaires, la série de concentration franchit ces valeurs sans s’y arrêter; cela vient de ce qu’en substituant dans l’équation à la place de x la valeur de la partie réelle d’une racine imaginaire, son résultat ne devient pas =0. On peut néanmoins parvenir à concentrer la somme et le produit des deuxracines imaginaires.

En effet , j’ai (5o) ^ d’où , à cause

de p — A — P, j’obtiens l’équation en P