z3 — ay rz*+rz — f — J = o
pour complément de * ;
z3 — 2 V^rz* + rz— ^ — J~o
pour complément de <p,
1z3 — az*-j-bz — c = o ) ,
,, , > Le dernier terme
z'5— az* + bz — > = oj
seul est différent.
Maintenant, z ayant pour valeur ce qui manque à -sr pour compléter la racine , il s’ensuit que ses trois valeurs formeraient avec -w les trois racines de la proposée. Cette première équation en z est donc une équation aux différences des trois racines.
Pareillement, z ayant pour valeur ce qu’il faut retrancher de ? pour arriver à la racine, ses trois valeurs retranchées de 9 donneront
DÜ CALCUL DES INÉQUATIONS. [tqy donc encore. jes trois racines.de la proposée en remontait de la plus grande, ^cine, à la plus petite; cette deuxième, équation c?t dune. encore une équation aux différences des racines de la préposée. ( I ° ' ‘ '• — a a g
Cette double équation est donc la déooih^ position de l’équation au quarré des différences des racines. On s’en convaincra eiicore plus en comparant cette dernière aveè les deux équations simples qu’on vient d’obteriir ; Wr on a • .h» ,
«‘-»(A*3B)z^(A-3B>^+4à>C-A'B=-I8ABO+<a>+37C>éCo(
<m a r tfyS?) ( SC + p '
On aura çette même équation , si on multiplie entr’eux les coéfficiçns>dé$ deux équations cidessus (i 5a), indépendamment des quantités numériques qui les affectent bavoir, deux pour le coefficient du .deuxième terme et ^ pour le coefficient, du fermer. On voit donc encore ici que le calcul des inéquations est le vrai mode de la décomposition algébrique.
1Ô2. En .reprenant les deux équations (i5i), on voit que tant que les racines de la proposéè seront réelles, les troisvaleurs de z seront positives , a cause de f X'~ ^ + z) et />,• ]>i«
Les coèfficiens de ces deux équations doivent
la
Ï78 TRAITE MLKMEHTAIRK
donc être alternativement négatifs et positifs ; c’est ce que I on voit immédiatement , et l’on a à-la-fois pour le dernier terme
^rV/7— ^C>o) f <SC— -arV/r<°>
et ( «ÎC + a r 1/ r o.
Ce qui est conforme à ce qu’on a déjà vu (74)-
l53. S’il y a des racines imaginaires, et que V/7soit réel, il en résulte deux cas; i°. si p, est réel, on aura (80)
«SC — irV r>o) fa/V r — «SC<o| fc<o »
«SC + art/ r>oj [art/ r+«SC>Oj ' 1 [>'>0 ;
c’est-à-dire que le dernier terme de l’équation en z sera positif au lieu d’être négatif, tandis que ses autres eoëfficléris conserveront l’alternative des coëfficiens positifs et négatifs qui appartient aux équations dont les racines sont positives ; c?est-à-dire que la plus petite quasivaleur de z sera négative (109).
Le dernier ternie de l’équation en z' sera négatif, et alors les coëfficiens de tous : ses termes conservant la règle de f alternative des signes positifs et négatifs, toutes ses valeurs seront positives. C’est aussi ce qui doit avoir * lieu , car on a dans ce cas />, < «■ , />, < <p ; il n’y a que •» qui change de direction, et comme
J>ü CALCÜ L DES INÉQUATIONS. . 1 79
cette quasi-valeur est alors trop grande , il faut que son complément a soit négatif.
Dans le deuxième cas, lorsque c’est />, qui est réel, on a (80)
SC — 2/V r<o| far^/r — (SC>oî |V>o »
6’C + 2rV/r<oj (arV/r+iSC<o) ( ><^o;
c’est- à-dire que le dernier terme de l’équation en z sera négatif, et par conséquent ses trpis valeurs seront positives. Au contraire, le dernier terme de l’équation en z étant positif, et tous les autres coëfficiens conservant l’alternative des signes additionnels , sa petite valeur est seule négative , ce qui doit encore avoir lieu , car on a dans ce deuxième cas p > -w , p > <p ; la seule quasi-valeur ç a changé de direction , elle est alors trop petite, il faut donc que z' soit négatif pour la compléter dans l’équation
Ut \ . . ,
Ainsi la nature des coëfficiens des deux éqpa-j tions aux différences (j 5 1 ) , détermine si les racines de la proposée sont, toutes réelles , s’il y en a d’imaginaires, et quel rang elles tiennent; dans l’équation. ,
Quand le radical originel est imaginaire, ou quand cm a [/ ■*— rj alors tous les coëfficiens de dimension impaire sont imaginaires , c’est le cas où ? t et $ appartiennent à la paire de
j8o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
racines imaginaires, leurs complémens zt etz , doivent être imaginaires.
Maintenant, je remarque que les deux équations en z et z ne différent que par le signe qui précède «JC , je les réunis en une seule et
(z3 — ax' + bz— c = o).., .
l54. Au lieu de |/3 az'. + bi:'v=oj J 31
/2rt/
'-Wrz'+rz-{ ,
Ainsi cette équation est la double équation
aux différences simples.
Pour la résoudre, je l’ai ramenée à 1 équa-
tion générale
x3 — A*‘ + Bï — C ~ o ,
parce que les racines par leur nature sont positives quand celles de la proposée sont toutes réelles, et je la décompose en ces deux facteurs (s* — ûPa + AQ) (z &p) — o. Je me
sers du caractère a , que je ferai précéder des mêmes lettres que celles qui ont été employées dans la résolution directe de la proposée ; ainsi A t correspondra à *• et signifiera quasivaleur du complément de n et ainsi des autres.
Maintenant, en résolvant cette équatiomaux
racines positives, comme ci-dessus (n5),>on aura les mêmes directions pour les quasi
BTT CALCUI, DES INEQUATIONS. l8t
valeurs que celles qu’on a obtenues en résolvant l’équation aux racines négatives
x3 + Ax* 4- Bx + C = o,
les quasi-valeurs seront également positives dans 1 équation en z et dans l’équation en Ap, et par ce moyen on évitera toute effectuation de signe pour passer de l’un à l’autre. l55. J’ai d’abord
*P<ï(a + l^)==<f(apÇ+ vÇ)=:<ayÇ=<An.
AP>1 ( a — a VÇ) = >>,..= >A»y
AP>î(a — VÎ). = >fV^ = >A<I>.
APi<t(* +2^) = <iV7=-<A<p.
Ces quatre quasi-valeurs originelles sont les mêmes pour le complément de t et <p , parce que le dernier c et y, qui fait la différence des deux équations , ne s’y trouve pas.
La petite quasi-valeur originelle = o, mais en la complétant , elle est différente pour t et pour <p , on a
Pour w. . . . jfcAw = Pour . . . JtAw —
ç/2r\^ — SC\
c (*r\rr + SC\
Et pour les deux complémens tAir=:( 2 rY~-T ^
b — A n-zr
l8a TRAITÉ ÉLÉMÏNtAItE 1
l56. Maintenant, en appliquant la formule de solution (127) , j’ai
j>idhs
