ÇA
b — Ann'
(<Af.
{<*n+\/ ^n*-;w[l3(<^n+l/ ’An>-£.
On voit que la double limite de et de z\ qui est irréductible , est infiniment imaginaire à cause de A t = o. En prenant la double limite de z , et z1, , et substituant les valeurs, on a 167. Pour complément de ar 1 /~r — »SC
Pour complément de <p , nr\/ r 4- «SC
et en réunissant dans une seule formule les
DU CALCUL DES INEQUATIONS. l83 deux formules de z, et de z x , ou a pour tous les deux
Dans toutes ces formules réunies en une seule le signe supérieur du double signe additionnel appartient au complément de ir et le signe inférieur au complément de $>.
Par le moyen de cette formule, on circonscrit entre deux limites opposées les quasivaleurs qui doivent compléter les deux racines extrêmes de la proposée. Voilà pourquoi j’ai appelé double ce deuxième mode de solution , qui est le vrai mode pratique de la résolution des équations. Ce mode sera le même pour les équations de tous les autres degrés. De sorte qu’on ne décompose une équation quelcouque qu’en l’entamant par ses valeurs extrêmes. Il reste un noyau d’équation qu’on résout ensuite par les formules des degrés inférieurs.
l5<). Maintenant, si les trois racines sont réelles, on peut remarquer que la limite supérieure de cette formule est positive pour les deux complémens de t et de ? , d’après ce qu’on
*^4 TRAITÉ ÉLÉMENTA IRE
a tu (74); car on a àda-fois’ pour les deux signes 2 rV rzfzSC>o.
Ç’est en conséquence de cela que le grand radical de la limite inférieure est toujours réel, lorsque les trois racines de la proposée sont réelles, soit que l’on prenne le signe supérieur ou le signe inférieur qui précède SC; c’est-à-dire que cette limite est également réelle pour le complément de * et de <p. Ainsi, dans ce cas, toutes les quasi-valeurs de cette formule ont la forme qui leur convient; elles
ne contiennent plus de quantités irréductibles, parce qu’on n’a employé pour la former que des valeurs réductibles.
1 60. Maintenant , s’il y a deux racines imaginaires et que V r soit réel, ce cas se subdivise en deux :
1 °.p, étant réel, on a
- *SC — ar./ r>o ) j ar — »ÿC •< o ,
«Stl + 2 r'V r> o j {2 r + SC > o ;
donc dans ce cas le grand radical de la formule (i58) sera réel avec le signe + qui précède *9C et imaginaire avec le signe — ; c’est-à-dire que la deuxième quasi-valeur du complément de v sera réelle, et celle du complément de <p sera imaginaire ; elles auront donc l’une et l’autre la forme qui leur convient.
DU C ALCTJTi DES INÉQUATIONS. l85 Cette deuxième limite aura aussi le signe additionnel qui lui convient pour le complément de t et de $ ; c’est-à-dire qu’elle sera négative pour le premier et positive pour le deuxième (ï58), car supposons que cela soit, on aura
formule (i58) a la forme et le signe qui lui conviennent d’après la relation des coé'fficiens.
2°. Si p] est réel , on a <ÿC — 2 rÿ r<o 2r-—SC>o,
SC + 2ri/r<o 2r + SC<o;
donc le grand radical de la formule (i58) sera réel avec le signe — qui précède 5C et imaginaire avec le signe + ; donc la deuxième limite du complément de t sera imaginaire et celle du complément de ç sera réelle ; elles auront donc encore l’une et l'autre la forme qui leur convient ; on prouvera de même que pour le premier cas qu’elles ont aussi le signe additionnel qui leur convient, c’est-à-dire que
4r*<^ îr* -f- SC r j4r*>2r* — SC\f r.
arl/7<SC I 2rV/"r>— SC.
SC — 2 r V^r > o (sC-f-ar V^r 3> o.
Ainsi l’on voit que la deuxième limite de la
la limite pour v est positive et celle pour # négative.
Il faut remarquer maintensfat que la formule sert à compléter toute espèce d’équation , quel que soit le signe de ses racines ; car on a dans tous les cas p>w, p<0, quand les racines sont réelles : si ir est négatif, sa valeur numérique est trop grande , mais la valeur de z , qui fait son complément, est toujours positive, car dans l’équation x = — (jr + z) il faut que la quantité positive de z diminue la quantité négative de * numériquement trop grande.
Quand les racines sont imaginaires, on a par exemple pour p, réel, p, <C v, O; mais si tt est négatif, il est numériquement trop petit, il faut que dans l’équation x = — (*+z) z soit du même signe que -r pour compléter sa valeur négative.
161. Maintenant, lorsque le radical originel est imaginaire, tous les élémens de l’équation en z sont affectés de quantités imaginaires. Ce cas exige une opération particulière , pour séparer les racines et en faire ressortir la quasivaleur de la racine réelle. Avant de m’en occuper, je vas appliquer ce deuxième mode de solution aux deux exemples du tableau qui ont leurs racines incommensurables pour faire voir avec quelle précision on peut l’appro-
cher de la valeur exacte des racines. Je prends d’abord 1 équation
x3 — yx + 7 = 0;
ses racines, qui sont de différens signes, sont toutes réelles, parce qu’on a SC — art/r<o, *SXj + a r t/ r > o ; j’ai d’abord pour le radical et les quatre quasi-valeurs originelles
P > + = — < 3,o55 , etc.
pÿ> Q — < 3,o55 , etc.
J’ai ensuite pour les quasi valeurs de Te'quation de complément ou de l’équation en z et z '
a r\Z~r—SC\
ït\/ r-4- SC\
• zm
‘(JVr)
9,î65, etc.
Je vois encore par la valeur positive des quasi-
l88 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
valeurs originelles que les trois racines sont réelles.
Je commence par prendre les quasi-valeurs de z et de z avec la formule (ia3) , seulement avec les quatre premières décimales , et j’ai
(/ irvr — SC\
>{-wr-)
=>0,6728. .=/tAx.
Je commence par concentrer les deux limites de z' qui appartiennent au complément de p ; elles ont, comme on voit, les trois premières décimales communes, et j’employe la formule
z — - , ou eu général la formule — .
b — AiïT D B — n-r
Je prends d’abord la limite moyenne entre les deux limites opposées ,(>0,006117!
Z| i <0,0069. .J moyenne =0,0065=^:
en la concentrant j’ai hp— 0,0061 34-
Puisque la concentration a diminué cette valeur moyenne , je conclus qu’elle est trop
BU CAJjCVÏj DES INEQUATIONS. 189
grande, et. que ; j’ai donc
,{>---] moyenne.. . .=0,006 ia5=/*':
en la concentrant j’ai
A//=o,oo6i 35o55.
Donc dans ce cas la quasi-valeur moyenne étant trop petite , j’ai donc
*' f<^=<o,oo6i34. . ^=0)0o6l335a75:
l>fyz. =>0,0061 33o55 J
en concentrant j’ai
fy/'=o,oo6i33i249> .
d’où ; ’
f>fyl'=>0,0o6l33o55. .) „ '
*{<V=<o,oo6,33„495l'' =°’OOG,33<,8»:
en concentrant j’ai
Ày/"=0,006 l33l2373,
d’où
s, r <*«" =<0,006 , 33 . ,49! l,.=0,oo6l 55 , j432 :
l >*#*" =>0,006 1 33 1 2 37 3 j .en concentrant j’ai
ky."=o, 0061 33*23783 ,, .
d’où
* l<;^,T=<o,oo6i33i23783jr
igo TIIA.ITB É LE MEKTAIRÜ
Je m’arrête à ce degré de concentration : la quasi-valeur de z' a ses dix premières décimales communes aux deux limites opposées, et par conséquent exactes; la onzième ne peut pas différer de deux unités au-delà de sa vraie valeur.
Maintenant , d’après l'équation ar,= — , je retranche cette quasi-valeur de celle de # exprimée ci-dessus , et j’ai
On pourrait à présent trouver les deux autres' racines par la résolution d’une équation du deuxième degré ;mais je vais encore concentrer la quasi-valeur de x, , pour faire voir comment se comporte cette méthode de concentration relativement aux différentes racines ; j’ai d’abord
Comme ces deux limites diffèrent assez entre
elles pour n’avoir aucun chiffre qui leur soit commun, je leur fois faire à l’une et à l'autre* un pas de concentration pour connaître leur distance respective de la vraie valeur . ,
je fais t a-»=o,7 ;j j’ai.. . /6'a«= 0,937 J
différence 0,337 ;
DU CALCUL DES INEQUATIONS. igi
je fais i = i,3q i .
> différence o.oo4j ai. . Af = i,386 | *
Je vois que cette dernière limite est beaucoup plus près du centre de la valeur que la première. Je concentre donc cette première pour la rapprocher jusqu’à ce que son pas de concentration soit à-peu-près le même ou jusqu’à ce que j’obtienne une différence à-peu-près égale. J’ai donc
A- A °’94 | différence o, ia4-
A a-w = i,oo4 J
Je vois alors que la concentration est très-lente dans ce cas ; cela vient de ce que les deux premières racines diffèrent peu l’une de l’autre. La concentration de la quasi-valeur de z n’a été si rapide que parce que la racine dont elle est le complément diffère beaucoup des deux autres.
Pour la rendre aussi rapide , jè reprends la quasi- valeur ci-dessus . . 1 ' !
d’où :
— (ir+2)= — ■>(— 3,o55 + l586)i=^>I ,669 ; je fais " . . •
iga TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
et je substitue cette valeur dans la proposée;, j’ai la nouvelle équation • ' L
z3 + 5,1 z' + 1,67:2+ o, oi3 = o ,
que je fais
z3 + a zs + b z + c = o ; 5
parce qu’elle a, comme on voit, ses trois racines négatives , d’où l’on peut conclure déjà que la valeur supposée *=1,7 est trop grande % la petite racine de z est le complément négatif de
je prends les deux limites opposées de cette petite racine; j’ai d’abord ,!
An 6,455.
!>tAx . .
<jA4>—
Il est aisé de rapprocher ces deux limites à
égale distance du centre de la valeur , car on. voit que la limite At se concentre rapidement,; j’ai d’abord 1
k% = — 0,00798.67 j différence .0,0001, 833, j’ai ensuite {,■
» A . / diiierence j,3562.
it o 0,00661
k AV= 0,0078125. J
k"AV= 0,00797045 )
Comme la différence du pas de concentration de k£ est à-peu-près le même que celui .de k''A-T-, je prends la valeur moyenne fx , et j’ai
Puisque la concentration va en augmentant , je conclus que l’on a z — >Aju, mais la concentration de ^ à kkl; va en diminuant, kg est donc trop grand ; j’ai donc
en concentrant j’ai
Comme la concentration va en diminuant , j’ai
j ai donc ’ £
iq4 TRAÏtÉ BL^MBNTAIRK
en concentrant j’ai
kn" — — 0,0079785274 ;
d’où
en concentrant j’ai
*"l<V"^-<o>oo797852877j^,“ 0,°°797 “
en concentrant j’ai
d’où
enfin j’arrive, après une dernière concentration , à la quasi-valeur
avec dix décimales exactes : ce qui me donne
xt — 1,6920214714 j
j’ai ci-dessus
j’ai donc
JT» = 1,3568958601.
Telles sont les trois racines de la proposée
Dü CAIgCDL DES INiÉQ'UATIONS.
dont les valeurs son* exacte* jusqu’à ilædiwème décimale.
J’aurais pu *ne contenter de prendre les trois premières décimales çxaptes , pliis faire
en substituant dans la proposée cette bouvellf valeur, j aurais obtenu des quasi-valeurs de z qui se seraient concentrées avee une rapidité bien plus grande encore, <i — - -,
Soit proposé de résoudre encore lequalion suivant : , , , ,J(
i- ir
. • ’ • - ii
qui .confient deux racines im amarres ‘ dont les trois valeurs sont incommensurables et de différens signes. '' r ■•*•>?*» t '...nat La doublé inéquation ■ r
.j iîCipa ry?<o “ '-.-A.
fait çpnplurp 30e. Pi .est réel *, et que. T09 a
"f - . ->j qû
c S* •Sifîttdiimcw r,- q }j JlU
'a d'obo-ed pour, la .solution simple >
P>TI=i=ï‘ > 1,63299316185. !
. ’P>* =5W;< 1*63 p, QtC, .
/>?<? = <i.,63,*tc.
Et l’on a pour la partie réelle des deuÉ ima ginaires , -
1<p. . = < i,63a , etc.
>|n == >0,816 , etc..
On a maintenant pour l’équation de complément en Z£% * ■'
yz= 6,088391737532. •
La valeur de c , étant négative , rend ce dernier terme positif , d’où l’on doit conclure que c’est la première racine qui est réelle (1 53). En ne prenant les quasi-valeurs qu’avec leurs premières décimales , on a
aP> a <t> = > *588299.
‘ Â ip < 3,26589.
On a pour complément de *■ ,
Ces deüx quasi - valeurs ayant le même signe d’inéquation , je Vois immédiatement que c est la valeur de kAv qui approche le plus de la
racine ; je la concentre , et , comme elle est négative , j’aurai une série de concentration alternative et convergente ; et , dans tous les cas , la quasi-valeur a n peut toujours se concentrer , qu’elle soit négative ou positive , puisqu’elle est =o, elle a la plus petite valeur numérique positive.
J’ai donc , en ne commençant la concentration qu’avec deux décimales,
> k' Av — — > o,4.
> kT A » = — > 0,46089.
On voit combien la marche de cette série est lente , puisqu’après cinq pas de concentration les deux limites opposées n’ont encore que deux décimales communes , ces quasivaleurs ont été obtenues en laissant aller la série sans prendre à chaque fois la quantité moyenne.
Pour rendre la marche de la concentration plus rapide , je prends la quasi-valeur
kr A 'a — — 0,46 ,
et j’ai
pais- S . }■> , ij.< •.<',••* i vj : ...
jitoilnWi ••!'< a»l'!s=^'JL*- ( .ÿ-p &')< j ■••• ' donne ' ■ **> î
*<"•- iü±j — .'•«> ( -r- 1 ,633 * — a, 46) >
oü ’
!*»' •> If iis* • i.*; i;r»
je fais alors
et en substituant dans la proposée, j ai la nouvelle équatiow
z3 + 6,27 z' + 1 1, io43 « — .0,50671 =0 ,
qui contient comme la proposée deux racines imaginaires et une-racine réélle , qui est évidemment-la plus petite, e’es&le complément
9l 1 >(ü mi 1 , t • ; 1 i
Cette équation a tputçs ses racines négatives, excepté kypremif^ qjui est la plus petite , elle appartient à t lf , :
' z? + a bar + c = O; “
j’ai d’abord
•V a* — 3b; =rr V^r s= V 6*
comme dans la proposée ; puis*
dît calçdl des inéquations.
Cette quasi - valeur devrait être négative en valeur de a p pou* être positive en valeur de z à cause de iv<3,og , et en outre le dernier coefficient étant négatif, il en résulte que la plus petite racine est positive en z, ef négative en A p } niais il faut remarquer que A «■ est ici positif par extradivergence, comme il est quelquefois négatif quand toutes les valeurs de p sont positives (54) : on va 'le voir par la concentration » j’ai donc ,
— > o,oo4540.
— »< o,oo455 1 5.
... .-+-£> o,oo455 1481 5.
-— < o,oo455 1 48 1 542 .
D’où j’ai •
a;, = 2,oq455i48i 542[3a.
Ainsi , après cinq termes de concentration , j’aboutis à une quasi -valeur qui a quatorze décimales exactes ; car quoique je n'aie pas obtenu l’identité dçs deux dernières décimales trente-deux, néanmoins en observant la marche rapide de la concentration, on voit qu elles se trouveraient les mêmes dans le sixième terme. Chaque ternie de concentration n’exi-
aoo
ÏRAITré ÉLÉMENTAIRE
géant qu'une multiplication et une division , on voit que les opérations qui conduisent aux valeurs des racines sont beaucoup plus courtes et plus simples que celles qu’exige l’extraction d’une simple racine cubique par la méthode connue de l!arithmétique.
Il faut remarquer que dans cette deri^ire concentration j’ai simplement laissé aller la série sans prendre la valeur moyenne par la méthode de compensation , j’aurais retardé la marche de la concentration au lieu de l’avancer ; car quand lés séries sont rapides , chaque terme ne dépasse la > valeur, vraie que d’une partie très-petite de la latitude. . . .
Je ne m’occuperai pas ici de la limite opposée qui apjàjartient à la paire de racines imaginaires : sa partie rationnelle n’est pas susceptible de concentration. Pour la concentrer il faut prendre l’équation en P de la proposée (x47)i on résoudra comme celle-ci, et la valeur réelle de cette équation donnera la paire des deux racines imaginaires quant à leur partie réelle. ,T’ • rUw rtfr.rmos
162. La double formule des quasi-valeurs de z et z (1 58) va nous servir à séparer les différentes racines de la proposée : d’abord de
, x, == — (-s- +,*) et de z
l<êv •
DU CALCUL DBS INÉQUATIONS. 201
j’aurai !..
ensuite de
j’aurai
* jo + e,
xl— — (p — z)etdez | > ç * { < t — i A * ,
enfin j’aurai
en substituant toutes les valeurs j’aurai les formules
J’ai mis le signe |l pour les quasi- valeurs de x4, leur direction dépend de la différence
plus ou moins des deux racines extrêmes avec la moyenne, il est inutile ide la déterminer ; mais il est clair qu’elles doivent être opposées l’une à l’autre.
Cette formule sépare 1?& trois racines de la proposée en quasi - valeurs qui ont toutes la forme qui leur convient. Mais il faut remarquer que cette séparation des trois racines n’a lieu que pour le troisième degré. La méthode ne sépare que les deux racines extrêmes de l’équation par deux limites opposées , et c’est parce qu’il ne reste plus qu’une racine au centre qu’elles se trouvent toutes les trois séparées. Dans les degrés plus élevés il reste au centre une équation abaissée de deux degrés qu’on résout ensuite après qu’on en a séparé les racines extrêmes que l’on obtient aussi exactement que l’on veut , comme on vient de le voir.
Mais il faut observer que cette formule à doubles limites opposées, n'appartient qu’aux équations dont toutes les racines sont réelles; quand il y a des racines imaginaires, les limites supérieures de chaque racine imaginaire appartenant à la résolution en p ne peuvent appartenir qu’à la partie réelle de ces racines; et dan6 ce cas les deux limites qui appartiennent à la racine réelle ont la même direction : je
DU CADCÜT. DES IM J£Q U ATI O NS. 205
supprime ces. limites pour avoir la formule générale : .
lG3. x
y* ■ ■■ Il ■ i I ■ t i . ■ ~>r~—
,j > \r .,scrf, 'Lr , scvî\
Telle est la formule générale et ultérieure île solution que j’appelle formule de décomposition algébrique , parce qu’on eh fera usage dans la deuxième partie pour la résolution des équations à plusieurs variables ; elle sépare , dans tous les cas, les quasi-valeurs des racines avec la forme qui îeùr convient, et avec une première approximation déjà assez rapprochée.
D abord , si les trois racines sont réelles , toutes les expressions Sont réelles, comme on l’a déjà vu.- i !
Ensuite , quand il y a dans l’équation des racines imaginaires, on peut les séparer de la racine réelle par le moyen de cette formule, soit que V~r soit réelle ou imaginaire.
i°. Si V~r est réelle, la partie imaginaire dépend des deux grands radicaux
Formule de décomposition al* gé brique.
SCV7
2 r + et
Vr
scV~?
Dans le cas où x, est réelle , on a
SC — 2 r V^r > o ) far V^r — ÆC < o , «ÎC + a r V~r > o j °U | 2 r V~r + 6*0 > o.
x, a son expression toute réelle , ensuite xs et x, ont, pour leur partie imaginaire, le même radical
SCV~r
avec un signe opposé , comme il convient. Quant à la partie réelle qui doit être la même dans les deux racines, elle a deux limites, savoir :
j^ + iV ,r+^p-)
qui correspond à x , et
i(*+^)=Tn.
qui correspond à x, , et qui par conséquent doit être précédée du signe <.
En faisant la même séparation pour le cas où x} est réelle , on aura
DU CALCUL DES INÉQUATIONS. ao5
sc+vv7<o) / — T [
|*i->t(a+V'?+îV ar-~) -
On peut encore prendre pour la partie réelle des racines imaginaires
*< \>,sr 1 f<** , -
En appliquant cette formule à l’équation X3 — S2X — 5 = 0, '
j’ai , en prenant pour la partie réelle des deux imaginaires, la valeur moyenne des deux limites opposées.
Quasi-valeurs ,
x* || i,o854=F ijog^a \/ — 1.
Valeurs exactes , x, = 2,09455 , etc.
'== — 1,04737 , etc. =+= i^i 36 y — 1.
Si, en conséquence de la quasi-valeur réelle, on faisait . \
et qu’on substituât cette valeur de x dans la
TRAlTt É L1ÎME3 T A lit £
proposée, on aurait iminédiatement;une équation en r, dont la petite racine, qui serait le supplément de xt , se concentrerait aussi rapidement que celle rie l éqüation ci-dessus qu’on a obtenue eu faisant
la quasi- valeur serait ici négative.
20. Quand vÇest imaginaire , la formule de décomposition ci-dessus ne 'peut fias servir telle qu’elle;est, toutes les expressions seraient affectées de quantités -imaginaires ; pour en «éparer la racine réelle, il faut d’abord dégager la quantité imaginaire, contenue dans legrand radical ; ce qu’on obtiendra par la résolution du radical
ci-dessus (i36) ; je fais ressortir, dans ce cas , le signe irtfrinséqueaventtiégatif-de r poûr que les formules présentent extérieurement la forme réelle ou imaginaire qui leur appartient.
Alors • 1 ' 1 1 ;r.
. — - \ K J/ r , .&cV~r ,
.die vient ;>.rnv
et ainsi -des autres , et l’on a ■ ■ u;
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