IX 7 &CV

y ardtz

• . , , iu -* ■ ' *j ii'f:

. • > iW -- f i > V*

quand on laisse r intrinsèquement négatif , est décomposé en deux radicaux ? dont le premier ne renferme que des quantités réelles , "" et l’autre est une expression imaginaire simple : car d’abord le radical intérieur

sc*

est nécessairement réel ( r étant intrinsèque-^ ment positif j. Ensuite le premier des deux radicaux

Sü‘ i.

ao8 traité élémentaire

est toujours réel , car ota a évidemment

6’Ca

et l’autre est imaginaire.

Maintenant pour appliquer ces valeurs à la formule de décomposition (168) , j’observe d’abord que les deux quasi- valeurs originelles w et <p appartiennent à la paire de racines imaginaires , l’une dés deux doit donc être conxplettée par z , et l’autre par z ; je remonte en conséquence aux deux, inéqdii'tiôns éii et en An , et j’ai~, ~pour complément de w ,

Pour complément de f , Ün a 11 ’ ;

•..ünn ! .■ il-; !' 1 ■ . ;

ar-f-

SCV^-r

. ■') • : u. 'jJiiü.iA . v î.; * i

Maintenant en appliquant ces quasi-valeurs de z et de z! à x, il faut les disposer de manière que chaque -paire de racines ait une quasi -valeur complétée par z , et l’autre par

dü calcul des îniQCATSONS. a©g x' , on a donc >■> , ' .1 »•> { > rtiuu; • »»-i

A —V—r—iy —ir - JcompljBtaç paf

■Jr«— >ï f A— V^-r+4 j^^-ryar— ^ .par a,.

' ^ ■ * 1 / ’ ii<^ Oi

*J->f(A+l^lr+i iS^ir+^Ç-ïÿ . par «/

En Substituant maintenant les valeurs des grands radicaux , on a

. 1 <■ Cl \f • .. ■.»<. ■ .^- ,11

kJ- > f(A -h y^r + iVa 4 i t/ R)

Il est darrr maintenant que c’est la deuxieme paire qui correspond aux deux racines’ imaginaires de l’équatiop ,(*37)- Quant à lajfâdine réelle , je puis la prendre avec deux limite^ différentes et opposées. jD’abord je l’an l'ai en prenant la moitié delà s^m me de l’autre paire de quasi-valeurs qui me donnera u

iu j- :• °<^’v*

en deuxième lieu, j1 auTâi'uwe aatrë 'limité en retranchant de A la somme des deux* racines

310 TRAITÉ 'ÉLÉMENT AI RS» 'lu

imaginaires , en faisant donc

- j’aurai i " ; ‘

on aura donc, dans le cas ou- iîC !> o ,

l67* f f <KA— il/R) . x

En opérant de même dans le cas où «SG<[o , cm a d’abord

itv

( U - < }( A~V^7 i ^R- IV/ — R^)

J [*•■ “< f ( A + Y -, r- \ VR + 1 l/HF)

D où je conclus ainsi, les trois quasi- valeurs de x ,

■ji: •;

°T )>ft A+|V^R) 8')i«0!:.ni!»

! | 3 : |<j(A+VR);. 1 .h;

Si je joins ensembles les deux formules pour «SG > o et «SG < o , j’aurai , en substituant les valeurs de y^R^et R' , la formule

wma r s

nu CAL'éot ri'KS-'fNÊQtiÂTfONS.

Su • ..i^i.ii-i -i ■> *■*•■!•■ n Tiioir.v ! h »

r<l(»-îV rrft^K^)'

I V fc- / . /— ► aL' n;. i:,im -uvjlsr

^-{<t(a+7\/ -r^^V^^)^(v/-r+jV^ -r-:V

JC<° j>|(A+;V/-^;V~Ç). ’oiiitasdiiz ri! Jo

r' S . — — 1 noil: i fjr) I iii‘j lo

( ~r+î^ ir‘r^r^i =5^^,,

En appliquant cette formule au d-ixr, septième et au dix-huitième exfcmple du tableau , op,q pour la racine réelle du premier, , * .qx-> h

f"<'v,3i>3. ; •«»•>!!. • t - -.1* X| ( >-0,9466. *•» •. 1. •l’qrniz

La racine vraie r= — 1 , ei pour lè dfélfxtleîifcé^

ffe&

T • ■ ■■■• - 1 .. •■ an «a

La racine vraie = — 3 .

t • i> i- n touji; liü piito cl .

Je vais 1 appliquer a 1 équation

ci-dessus (106), dont la.valeur ..réelle ne peut

se concentrer par- la séria -de cpncentratjjon^

parce que toutes les parties réelles, des jvapjpçfl ne sont pas du impie signe. -Op adans çe,q^

>■» *d 131JU

. > ; , TR A^Ti Éf. É Vf S IÇTAI et la valeur réelle , d’après cette formule , est

__j> 2,563, '• vH - /•“•*

la valeur moyenne de ces deux limites çst

; V xi — Il 3,5; je fais alors

et je substitue cette valeur dans la proposée , et j’ai l’équation

j’ai j opmme dans la précédente , jr = 2 , je

pourrais d’après Ifs formules qü’on vient d’exposer , prendre les deux limites opposées de sa valeur réelje ; mais il est beaucoup plus simple de concentrer sa quasi-valeur j A immédiatement par la formule

sans chercher à savoir si l’on a »ÎC>o ou SC<o, la concentration me donnç

'O; Ii: ; .v 1 •; i ! ê

j , ... •;!l-^'4 zaz: . 0,633». HJ. :

le m’arrête à ce terme , et je vois, comme cela doit être , que la petite racine est la réelle , et qu’elle peut se concentrer. Au lieu de continuer la concentration. , je prends z = — 0,6,

DU CALCUL DUS ÏIÏÉQÜATIOKS. St 3

que je substitue dans x = — *(3,5 + z), et j’ai '£<£=--*- 3,9. ■ ! • ' «s"**».'

Je Forme! la nouvelle étjüatlôü '

et j’ai z3 -f 6,7 z* + i5,63jk — i,63i=o; je concentre immédiatement jÀ,' et j’ai

‘•; i- k 4; = ^-^,2oè7.

D’où je vois que c’est encore la petite racine qui est la réelle , et Comme elle ëst négative en p , oü positive en £ , elle se concentre al ter*ttativerriCiit. Comme la vraie valeur qui con* vient à z eàt z==o,i, on voit combien'ellè converge Rapidement. •■■‘■n >»’ •

: 'ijl. Je xke suis beaucoup étendu, dans éè chapitre , sur la résolution dés équations du troisième degré , pàécé ’tjù’il a fallu én développer la tiaturè et la ‘théorie du calcul des inéquations. Mais ce qui appartient purement à la résolution pratique des équations dè ce degré , se réduit à bien peu de choses.

Quelle que soit l’équation proposée, si \/~f est réel, prenez immédiatement les trois quasivaleurs de ses racines pâR là formulé de décomposition (i63).

*l4 .*îîoir,RA.;T#..^LjÉ-Hf RT,AIRE . îa

: , Ensuite j pour, les popç^ptrer rapidement-, si elles sont toutes les trois réelles , -prenez une des quasi-ypleursqxlfèfliçs, que j’appelle généralement q r faites -, f

; o jr/o*! — “;( ?:+ *3 1 d a. ■ - i .. t • ■

vous aurqz une équatiop e,n z , dont yous pourrez prendre les limites par la même formule ; mais, plus si mp^emç.nt^ concentrez immédiatement la quftstsvalepr de la première racine

par la formule t roi o — J. ,\

JcLm

B ryt w

I) ’K'.UV

Cette pfiepaière.raqiqe<ser^.alons trèsr,ppU^e,rpT lativeipept aux deux autres „ /qU^r»? ,epnpen-

t«tesra dpnÇi tsès-rapidement,;^i fa jponçeqtra- $jpfi . pst le^çpre, tfop.le^te ,, jtouSi lui dpnnejçez

une nouvelle convergence eu faisan t,^ ave,c la quasi-valpurdéjà, cppeen^rée , == q\ , l'équation

c. >:*v ÆîfnfiTîtCï 4j . OTtin;;;!-

La noqve^e çubftitqtipqde ce,t,te yalçtpr dap? la proposée ,rvous donnera une nouvejle eqqption ,en,« , dont la première jftcjne , afqrs, tr^ petite , se concentre^. ^pOppapideipent. • Si le radical jprigin^l, jipi^ginai^e x on prép-

ara la quasirvaleur péejlpqup^ fp^ipple (1,70) qui cpnviont à .yC-T r.^et.pour la concentrer ? on opérer^ de même., .... ..; /

En général , ce n’est que ^r.de^fqpat^pqp

1)0 CALCUL DES I» ÉQUATIOSS. 2l5

de complément qu’il faut opérer la concentration , et jamais sur l’équation proposée j parce que,-j°. sa marche, est ordinairement très-lente ; a0, parce qu’elle np peut réussir qu'autant que toutes les racines ont le même signe ViDafts les équations^de complément la concentration est d’autânt plus rapide que le complément; de la prequère1 ratjine est petit, les racines y sont toutes du même signe , il n’y a jamais que la petite qua$i-valeur qui peut avoir un signe différent , la concentration n’en est pas moins convergente , ellç est alors alternative. :

CHAPITRiE IV;

De la résolution des équatiohs du quatrième degré.

PREMIÈRE SECTION

.rv> >

PREMIER MOÔE DE SOLUTI O-N . j .

De la résolution des valeurs de p , ou première mé-

thode de solution simple.

172. Pour résoudre' l’équation générale du quatrième degré , J r.

xf-H A*3 + Bx* + C*+iD = o,

. (.TRÀJTi ÏI.ÉMXNTAIRK

je . la .décompose comme pour le teoisiième degFé en deux facteurs , in.-.

" + QÀf +! tt ) (je + p )== '$ ;

én effectuant l’on a 1 . ; *4 + Px3 + Q,<Tt- , . o.,

, +i?*îl+!P/>^,dr>Qfw + R/> J,.w , ’

d’où j’ai les quatre équations auxiliaires,

v « I* , P A' . . * , vv if.

, Q + Pp ±b B . * i a.

R + qpt*Gi,a ?'"3.

* '*< ■ - Rjt». .v.* ** B"i « . *ti • *

Ensuite je prends l’inéquation conditionnelle de l’équation du troisième degré qui est ici

.v/r .-Mi

') iï j.;

: iniKq

j’ai donc

q ^ f iT Pp }, i p* > ;

en substituant la valeur de P de la première équation auxiliaire , pn a une inéquation du deuxième degré ,

qui donne deux quasji-talews qui appartien-

1)0 CALCUL DES INÉQUATIONS. 2I7

nent par la même raison que Ci-dessus (61) aux deux racines extrêmes de {'équation , et