p4<fC A + 3v^Âr^|r).= <r
p.>ï(A— 3\/ A*— | B) = >«; fuis avec l’équation auxiliaire p= A — P, on a
A —— P « i# ji ; : r : :
La première de Ces deux quasi- valeurs 9 appartient à la somme des trois plus petites raeines ,,et l’autre ti à Celle des trois plusgrandes. On voit qu’on a obtenu d’abord ces quatre quasi-valeurs originelles de la même manière , et d’aprè» les mêmes principes que dans le troisième degré ; il en est de blême de tous les autres degrés. - 1 ' ' ' -
174. Il semblerait qu’en introduisant l’inéquation conditionnelle du troisième degré de l’équation '
x3 + Px* + Qx + Q = o , j’aurais dû prendre l’inéquation générale qui renferme les rapports de tous les coëfficiens et qui est h.
4P3R—P,Q*T.*8PQR+4Q3 + S7R*<o (7*).
a*0 .f. (■ !T R, A 4 T lî ÉLÉMENTAIRE i
Sj l’on employait cette inéquation , on retomberait clans l’inconvénient de la méthode des équations qu’on a employées jusqu’alors pour les résoudre, il en résulterait une surcom- ' position au lieu d’une décomposition , et Ion entrerait dans un labyrinthe de calcul algébrique , dont il ne serait pas possible de sortir. . - ' • —
L’inéquation Q< jP‘ est le pivot de la résolution des équations du quatrième degré , elle sert à trouver toutes les inéquations qui naissent de la relation des divers coëfficienS entr eux. On sait que tous les coëfficiens d’une équation se dérivent de ceux qui les précèdent.,,
11 est aisé , d’après cela, de voir comment aveÇ 1 1- inéquation conditionnelle des-deux ]preix?i§rs,. pqë^fiçiens , on peftt arriver aux iné-f quations qui expriment la relation de tous les autres. . . i , , r ,
xili.t .U» )• .• . 1 : , ■ . - j \ ■
îya.. Je continue et j’observe que cç qui,a été dit relativement aux quasi-valeurs négatives et positives en p .dans la résolution du
troisième aegFé', s applique parfaitement ici. Aüisi je suppose d’abord que tous les coëffi- 'diéftS lié' la proposée soht positifs , que pat conséquent les quasi-valeurs originelles éont positives eh p , et négatives en x. Si toutes les
J>U CALCULEES INÉQUATIONS. 21g
racines devenaient positives en x , et négatives en p , alors le coefficient À serait négatif , et en faisant ressortir son signe, la quasi-valeur
». devient p, = — < <p ,
~ pC< ?•'•■•••• V’ devient />4 =' — > « , comme ci-dessus(55).
Si l’équation Contient des racines en partie négatives et en partie positives , l’inéquation
Pi, >.*»>; y..-xN . •.
étant pronégative yj appartiendra à la plus . grande racine négative enjp , et la quasi-valeur •s sera plus grande en nombre que cette grande racine ; par exemple :
Soit l’équation «•, ,•* h*
x4 — ,’]X3+ I IX* -^7 Kr-* 13, = O ,
dont les facteurs sont . ( ,
(x— 4)(*— 3)(f — i),(x+i) = o; ^ ^ je les place ici dans Jçur ordre de résolution,
et j ai
pt>w — >— 5,076 = —<5,076, Pi<9 = < *»576. '' -IO-r;if;!si
• Tout ceci est conforme à 6è qu’on a déjà vu. 176. Il s’agit de conrpletter les quasi-valeurs,® et p ; je prends d'inéquation <, .
V ,.K»f) r, oo j Q sè 'B -4tf Pjj j1' ‘ ;JJ»« -méî
je la compare avec
Q II B-n.,' en faisant y/ A*— %ii=V7.
Q || vg(i6B — 3A* + 9 r — 6A V^F.
Q || t\(A’ — 2 (A*— | B) + 3r + 2 AVÇ.
’ ' Q II i3s(A‘-f*/,4-aAK7r.
Q II ^(A+v7)*.
de n=i(A + ^/r..Q |j jn*. •
*■ Puis Q < y P* ,
donc ÿ n* > ÿ ÎP* y
donc Q < y n* ;
^n* = B — iiv, et Q<B — n».
En faisant la même opération avec Q || B — on arriverait de même à
• ;l * ' Q Ht®*» • ;t-:
donc on a d’abord
mais l’on a
.1*'. • •(-•b i n Q fC 7. P’ > ■ ' ♦. -, y.
v -> •• rr;> -■ ;>?••<■ fi1** • <; Àr u
on ne peut rien coftclurè de ces dent inéquations qui sont dans le même sens ; on a donc ,
»ü CALCUL DES INÉQUATIONS.. 3aï
seulement l’inéquation de direction incertaine
comme dans le troisième degré.
177* Par Ie simple raisonnement on a prouvé ci-dessus (61), que pour la petite racine on devait avoir
J’appelle R cette quasi-valeur de Q qui correspond à la somme du produit des trois plus grandes racines multipliées deux à deux, comme n correspond à la somme des trois plus grandes racines. Si on substitue R et ** dans l’équation auxiliaire ,
. ! R = C — Qp ;
on aura, par le même raisonnement f R<C — K*-,
parce que R est plus grand que sa valeur Q correspondante , et *- plus petit ; et paree que R est toujours plus grand que -w, et ne cesserait pas de l’être , si ees deux quasi -valeurs parvenaient à leur valeur correspondante Q et/V
178. Voici comment on peut çncQrç démontrer la direction de cette quasi-v^etm de R. J’appelle z la quantité dont R surpasse §a valeur Q correspondante, etz la quantité qui
.manque à & pour valoir p, ; au lieu de *; R-C — Qp,
j’aurai
avec la valeur de K , • .
Le deuxième membre de cette équation renferme deux parties , la première ,
est la quasi-valeur de R , et l’autre partie est ce qui la complète ; si cette quantité [(B — nsr)z — (ir + z)z'] ,
qui est précédée du signe — est toujours positive de sa nature ; il faudra conclure delà que l’on doit avoir
puisqu’il faudra toujours en retrancher une quantité positive , pour avoir la vraie valeur de R ; c’est donc ce qu’il s’agit de faire voir. On a d’abord l'inéquation incertaine , ,
(B — n»)z — («• + *)'«’ || o; i je substitue au lieu de z' sa valeur en fonctions de Zf que j’obtiens de cette manière : r l
d’où j’ai
j’ai donc , en reprenant l’inéquation incertaine ,
B — n» — ( n— ~<a — •z)(‘ïr + 'z)ll0>
en substituant les valeurs den et de ir en coéffi-
ciens de la proposée , j’ai, tout calcul fait,1 z% — 4( A-f-gV^z-f Aa — 28B-i-3A.'/T || o,
Puis . ....
, II -ÿ;(6V)-8B+6A^7,
dou
(*- t( a + 9 y^yy + aca +vr?y n o ;
mais le premier membre de cette inéquation , composée de deux quarrés , est nécessairement positif toutes les fois que Ÿ~r est réel , donc on a
donc, en remontant , l’on a
donc , dans la valeur de R , la quantité que Ton
retranche de la quasi-valeur est toujours positive , donc on a
' Oll 1
Delà avec l’équation auxiliaire 4, R/?==Ij, on obtient , pour la quasi-valeur complète de la première racine ,
3a4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
et pour $ ,
P* Il
C — B? -f- Afa — <p3 * '
Pour obtenir delà la série de concentration , il faut déterminer le rapport d'inéquation de «■ à k'ir , j’ai
* C — B*r + Aw1 — *s ^ " ■
C<r —i Bw* A 7F3 — cr4 j| D ,
0 II ^ — + — Cw-f-D;
mais le deuxième membre n’est autre chose que l’équation proposée, dans laquelle on aurait substitué la quasi- valeur w à la place
de x , ses facteurs sont donc
o II (t — a)(w— i)('zr— p) (*-*•</)• Comme ils sont tous négatifs , leur produit est positif , donc
o O4 — A t3 + B-r* — Ct + D»
donc f
“ir <[ kir ; ' .
donc on a ces rapports d’jfléqiiation
de p{ > kir , on a ■> ...... (-
k'*‘t — kkiP + B^"r‘ — C/or 4- D > o ,
d’où *'• r ’f‘
^ kir3 — A/ïw4 + Bit*- — C ’ ' 4 •
kir <•
C— A kir" — kir3
Delà on conclura , comme ci-dessus (87) ,• la série de concenlration , r
l^Q. ir < kir < k'ir < k "ir < k'"ir , etc.
P « Pr P. P. P«
Et si 9r acquérait une valeur qui dépassât la première racine seulement , en l’appelant ir , on aurait la série opposée ,
t' > kir' > k'ir > AV > A'V , etc.
P. Pt P. P. P<
Je suppose ici toutes les racines négatives, si elles étaient toutes positives, ce serait la dernière quasi-valeur <p qui serait susceptible de se concentrer ; mais comme p4 < <p devient p = — ><7 en faisant ressortir son signe négatif, on a encore la même série que celle-ci , à l’exception que les termes étant métanégatifs, elle est précédée du signe — * qui affecte leur quantité, et non pas leur direction.
On aura encore une série convergente qui
fl 26
sera alternative, si la quasi-valeur est la plus petite en nombre, quoiqu’elle corresponde à une racine d'un signe différent de toutes les autres , par le même raisonnement que cidessus.
Il n’est pas inutile pour la théorie de déterminer la direction de la grande quasi-valeur complète ou de Xp; on aura comme ci-dessus deux cas.
i°. Si * > 9 , on a
d’où
Pi < c— (b—
a°. Si »** <C <p , ou a Q<B —
d’où
Pa> C — (B — 4p)p '
Pour le premier cas on a donc
mais en déterminant le rapport d'inéquation de 9 à k <p, on a
— a?3 -t-Bp* — C? -f D > o ;
car les quatre facteurs
(p-^a) (p — ù) (p — c) (p — d ) sont tous positifs ; d’où
9 ''> p3 — Ap1 + Bp — C ’
C — Bp -+- A p* —
~r = < Ap.
Il suit de là que la latitude de p4 ■< k <p est plus grande que celle de pi <. <p , on aurait les rapports
Pi Pi
qui détermineraient une série de concentration divergente. Ceci confirme ce qu’on a dit ci-dessus (q3), que les séries de concentration des racines paires étaient divergentes, et celles des racines impaires convergentes : celte loi est importante.
Quant au deuxième cas , les deux inéquations opposées pA < p et pA > k p, annoncent que k <p a franchi la valeur, et on peut la concentrer par la concentration de compensation.
J 8o. On peut remarquer que la formule de concentration pour le quatrième degré, est généralement la formule <le la quasi-valeur
aa8
complète
P' C — (Briw)w’
en substituant successivement à la place de n et de v, les quasi-valeurs
kn, kv, k' n, k! v, etc.
l8l. Quant aux racines imaginaires qui peuvent se trouver dans l’èquation, je ne chercherai pas à déterminer ici les inéquations conditionnelles qui apprendraient à les reconnaître ; les formules ultérieures de solution qu’on obtiendra en donnant les quasi-valeurs des racines avec la forme qui leur convient , feront connaître le nombre des racines imaginaires que contient l’équation, et le rang qu’elles y tiennent relativement à leur partie réelle. J’observerai seulement que quand -ar et $ sont réels, toutes les fois qu’on peut obtenir avec <v une série de concentration , on peut conclure qu’elle correspond à une racine réelle. Quand le radical originel est imaginaire , on n’a d’autre limite que la quantité j A; mais si l’équation contient deux racines réelles , on obtiendra avec cette simple quasi-valeur une série de concentration qui aboutira ou à la première ou à la troisième racine, selon que l’on aura p •< j A ou p > j A.
»0 CALCUL DES IK^QUATIOSS. 22g 182. Avant de passer à la section suivante , Lol<*econ*
x centration
il est nécessaire d’exposer la loi qui suit lap»urie”*-
, . . 1 , .. , cinés éga-
serie de concentration, quand il se trouve des les. racines égales dans l’équation.
Si l’on suppose d’abord que les deux premières racines sont égales, et qu’elles soient toutes réelles, on aura pour la première, et par conséquent pour les deux premières, la série de concentration (87)
-s- etc.
Pi Pi Pi
mais si l’on donne à ■v ou une valeur qui lui fasse dépasse* la première racine, elle dépassera en même temps la deuxième , la série de concentration divergera de la deuxième parce qu’elle l’aura franchie, et convergera vers la troisième. Ainsi, dans ce cas, on 11e peut pas avoir deux séries de concentration opposées, on ne peut avoir que la première.
Mais quand l’équation contient trois racines égales, si l’on donne à une valeur qui dépasse la première racine, elle dépassera la troisième, alors la série deviendra convergente en sens contraire. De là suit cette loi : On a deux séries opposées de concentration quand le nombre des racines égales est impair , et Von ne peut en avoir qu’une quand le nombre des racines égales est pair.
Il s’agit de confirmer cette loi par des exemples. Je prends d’abord l’équation
x* -f- i3 x3 + 33 x% + 3i x + 10 = 0, dont les facteurs sont
(* + io) (* + i y,
et qui a par conséquent trois racines égales. On a
P = io.
On peut remarquer d’abord que <p contient la somme exacte des trois petites racines qui sont égales, et $ la valeur exacte de la quatrième. Ce résultat confirme ce que l’on a vu ci-dessus (85) , savoir : que quand une équation a toutes ses racines égales moins une, la quasi-valeur originelle de la seule racine inégale exprime exactement sa valeur.
Maintenant si je concentre qui, comme l’on voit, est extradivergent, j’aurai
